Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．

（1）觀察猜想：如圖（1），當點D在線段BC上時，

①BC與CF的位置關(guān)系是：　 　；

②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：　 　（將結(jié)論直接寫在橫線上）

（2）數(shù)學(xué)思考：如圖（2），當點D在線段CB的延長線上時，上述①、②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．

試題解析：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中 ，∴△DAB≌△FAC，

∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故答案為：BC⊥CF；

②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；

故答案為：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．