Question

已知：E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從D點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、D不重合），過點(diǎn)E的直線MN平行于DC，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，EF⊥AE于點(diǎn)E，交CB（或CB的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)F．
（1）如圖甲，線段EM與FN之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（2）點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中（圖甲、圖乙），四邊形AFNM的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，且MN∥DC，求證△MED和△NBE都是等腰直角三角形，又利用EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求證△AME≌△ENF，得出EM和FN的之間的關(guān)系；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BD的中點(diǎn)時(shí)，利用四邊形AFHG是矩形，可得S_{四邊形AFNM}=

1

2

；②當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、D不重合）的過程中，四邊形AFNM是直角梯形．由圖甲知，△AME≌△ENF，同理，圖乙知，△AME≌△ENF，可得，S_{四邊形AFNM}=

1

2

（AM+FN）•MN=

1

2

×1×1=

1

2

，然后即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）EM=FN
證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，且MN∥DC，
∴四邊形AMNB和四邊形MNCD都是矩形，∠MDE=45°，∠NBE=45°，
∴△MED和△NBE都是等腰直角三角形．
∴∠AME=∠ENF=90°，AM=BN=NE．
∴∠EFN+∠FEN=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠EFN=∠AEM，
∴△AME≌△ENF．
∴EM=FN
（2）四邊形AFNM的面積沒有發(fā)生變化，
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)時(shí)，
四邊形AFNM是矩形，S_{四邊形AFNM}=

1

2

，
②當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、D不重合）的過程中，
四邊形AFNM是直角梯形．
由（1）知，在圖甲中，△AME≌△ENF．
同理，在圖乙中，△AME≌△ENF．
∴ME=FN，AM=EN，
∴AM+FN=MN=DC=1，
不論在圖甲或圖乙中，這時(shí)S_{四邊形AFNM}=

1

2

（AM+FN）•MN=

1

2

×1×1=

1

2

，
綜合①、②可知四邊形AFNM的面積是一個(gè)定值．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．