(2005•長春)如圖1所示,矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上,點D與原點重合,對角線BD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x,AD=8.矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動,同時點P從點A出發(fā)做勻速運動,沿矩形ABCD的邊經(jīng)過點B到達點C,用了14秒.

(1)求矩形ABCD的周長.
(2)如圖2所示,圖形運動到第5秒時,求點P的坐標.
(3)設(shè)矩形運動的時間為t,當0≤t≤6時,點P所經(jīng)過的路線是一條線段,請求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當點P在線段AB或BC上運動時,過點P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)題意,AD=8,B點在y=x上,則y=6,即B點坐標為(8,6),AB=6,可求得矩形的周長為28.
(2)由(1)可知AB+BC=14,點P的速度為每秒1個單位.可求得D點坐標為(4,3),點P坐標為(12,8);
(3)設(shè)線段所在直線為y=kx+b,把點(8,0),(12,8),代入解析式利用待定系數(shù)法求解得:函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16;
(4)①當點P在AB邊運動時,即0≤t≤6,點D的坐標表示為,點P的坐標為(8+t,),根據(jù)相似三角形的相似比,解得t=6;當點P與點B重合,此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形.則根據(jù)相似三角形的相似比可解得t=20,因為20>6,所以此時點P不在AB邊上,舍去.②當點P在BC邊運動時,即6≤t≤14,則點D的坐標為,點P的坐標為(14-t,t+6)
同樣利用三角形的相似比可求得,因為,此時點P不在BC邊上,舍去.
綜合可知,當t=6時,點P到達點B,矩形PEOF與矩形BADC是位似形.
解答:解:(1)AD=8,B點在y=x上,則y=6,B點坐標為(8,6),AB=6,矩形的周長為28.

(2)由(1)可知AB+BC=14,P點走過AB、BC的時間為14秒,因此點P的速度為每秒1個單位.
∵矩形沿DB方向以每秒1個單位長運動,出發(fā)5秒后,OD=5,此時D點坐標為(4,3),
同時點P沿AB方向運動了5個單位,則點P坐標為(12,8).

(3)點P運動前的位置為(8,0),5秒后運動到(12,8),
已知它運動路線是一條線段,設(shè)線段所在直線為y=kx+b
,
解得:
函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16.

(4)方法一:①當點P在AB邊運動時,即0≤t≤6,
點D的坐標為
∴點P的坐標為(8+t,).
,則,解得t=6.
當t=6時,點P與點B重合,此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形.
,則,
解得t=20.
因為20>6,所以此時點P不在AB邊上,舍去.
②當點P在BC邊運動時,即6≤t≤14,
點D的坐標為,
∴點P的坐標為(14-t,t+6).
,則,
解得t=6.
因為<14,此時點P不在BC邊上,舍去.
綜上,當t=6時,點P到達點B,矩形PEOF與矩形BADC是位似形.

方法二:當點P在AB上沒有到達點B時,更不能等于
則點P在AB上沒到達點B時,兩個矩形不能構(gòu)成相似形
當點P到達點B時,矩形PEOF與矩形BADC是位似形,此時t=6.
當點P越過點B在BC上時,
時,由點P在BC上時,坐標為:
(14-t,t+6),(6≤t≤14),
,
解得t=,但<14.
因此當P在BC上(不包括B點)時,矩形PEOF與矩形BCDA不相似.
綜上,當t=6時,點P到達點B,矩形PEOF與矩形BADC是位似形.
點評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用.解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
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(1)求拋物線y=ax2的函數(shù)關(guān)系式;
(2)正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時,點A再次落在拋物線y=ax2的圖象上并求這個點的坐標.
(參考數(shù)據(jù):sin30°=,cos30°=,tan30°=.)

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(1)求矩形ABCD的周長.
(2)如圖2所示,圖形運動到第5秒時,求點P的坐標.
(3)設(shè)矩形運動的時間為t,當0≤t≤6時,點P所經(jīng)過的路線是一條線段,請求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當點P在線段AB或BC上運動時,過點P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,說明理由.

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(1)求拋物線y=ax2的函數(shù)關(guān)系式;
(2)正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時,點A再次落在拋物線y=ax2的圖象上并求這個點的坐標.
(參考數(shù)據(jù):sin30°=,cos30°=,tan30°=.)

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