(2005•長春)如圖所示,邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,將正方形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)30°,使點(diǎn)A落在拋物線y=ax2(a<0)的圖象上.
(1)求拋物線y=ax2的函數(shù)關(guān)系式;
(2)正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時,點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax2的圖象上并求這個點(diǎn)的坐標(biāo).
(參考數(shù)據(jù):sin30°=,cos30°=,tan30°=.)

【答案】分析:(1)由于OA順時針旋轉(zhuǎn)30°后A點(diǎn)落在拋物線上,設(shè)此時的A點(diǎn)為A1,過A1作A1⊥x軸于M,那么可根據(jù)正方形的邊長和∠A1OA的度數(shù)求出A1M和OM的長,即可得出A1的坐標(biāo),然后根據(jù)A1的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)拋物線的對稱性即可得出要經(jīng)過120°點(diǎn)A才會再落到拋物線的圖象上.且此點(diǎn)與A1關(guān)于y軸對稱,即坐標(biāo)為(-,-).
解答:解:(1)設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線上點(diǎn)A1處,OA1=OA=1,
過A1作A1M⊥x軸于M,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知:∠A1OM=30°,
則OM=OA1cos30°=,A1M=OA1sin30°=,
所以A1,-).
由A1在y=ax2上,代入拋物線解析式得:-=a(2
解得a=-,
∴y=-x2

(2)由拋物線關(guān)于y軸對稱,再次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線點(diǎn)A2處,點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于y軸對稱,
因此再次旋轉(zhuǎn)120°,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-,-).
點(diǎn)評:本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn).
練習(xí)冊系列答案
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(2005•長春)如圖1所示,矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)D與原點(diǎn)重合,對角線BD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x,AD=8.矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運(yùn)動,同時點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)做勻速運(yùn)動,沿矩形ABCD的邊經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C,用了14秒.

(1)求矩形ABCD的周長.
(2)如圖2所示,圖形運(yùn)動到第5秒時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)設(shè)矩形運(yùn)動的時間為t,當(dāng)0≤t≤6時,點(diǎn)P所經(jīng)過的路線是一條線段,請求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或BC上運(yùn)動時,過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2005年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷(課標(biāo)卷)(解析版) 題型:解答題

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(1)求矩形ABCD的周長.
(2)如圖2所示,圖形運(yùn)動到第5秒時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)設(shè)矩形運(yùn)動的時間為t,當(dāng)0≤t≤6時,點(diǎn)P所經(jīng)過的路線是一條線段,請求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或BC上運(yùn)動時,過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,說明理由.

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(1)求拋物線y=ax2的函數(shù)關(guān)系式;
(2)正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時,點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax2的圖象上并求這個點(diǎn)的坐標(biāo).
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