Question

【題目】[問題發(fā)現(xiàn)]

如圖①，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，若，則_____ ;

[拓展提高]

如圖②，在等邊三角形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線與相交于點(diǎn)，若，求的值.

[解決問題]

如圖③，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，直線與直線相交于點(diǎn)，.請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】[問題發(fā)現(xiàn)]；[拓展提高]；[解決問題]或.

【解析】

[問題發(fā)現(xiàn)]由，可知AD是中線，則點(diǎn)P是△ABC的重心，即可得到2∶3；

[拓展提高]過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則EF是△ACD的中位線，由平行線分線段成比例，得到，通過變形，即可得到答案；

[解決問題]根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行討論，①點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊；②點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊；分別畫出圖形，求出BP的長(zhǎng)度，即可得到答案.

解：[問題發(fā)現(xiàn)]：∵，

∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD是△ABC的中線，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，則BE是△ABC的中線，

∴點(diǎn)P是△ABC的重心，

∴；

故答案為：.

[拓展提高]：過點(diǎn)作交于點(diǎn).

是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

∴EF是△ACD的中位線，

，

，

，

∴，

，

即.

.

[解決問題]：∵在中，，，

∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴，

∵CD=4，

則點(diǎn)D可能在點(diǎn)C的右邊和左邊兩種可能；

①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊時(shí)，如圖：過點(diǎn)P作PF⊥CD與點(diǎn)F，

∵，，

∴△ACD∽△PFD，

∴，即，

∴，

∵，，

∴△ECB∽△PBF，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴，，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊時(shí)，如圖：過點(diǎn)P作PF⊥CD與點(diǎn)F，

與①同理，可證△ACD∽△PFD，△ECB∽△PBF，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴，，

∴；

∴或.