Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，連接ED，且ED＝EC，連接EB交y軸于點(diǎn)F．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)G在直線(xiàn)AB上，連接FG，當(dāng)∠AGF＝∠AFB時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AG的長(zhǎng)；

（4）在（3）的條件下，點(diǎn)H在線(xiàn)段ED上，點(diǎn)P在平面內(nèi)，當(dāng)△PAG≌△PDH時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）C（﹣6，﹣5）；（3）；（4）P（，﹣1）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)解析式中，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△AOB∽△MOA，得出，求出，進(jìn)而得出直線(xiàn)AM的解析式為，直線(xiàn)AM和拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立求解即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出∠EAF＝∠BFG，進(jìn)而判斷出△AFE∽△FGB，得出，再求出EF＝，BF＝，即可得出結(jié)論；

（4）先判斷出∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，進(jìn)而判斷出點(diǎn)P在AD的垂直平分線(xiàn)上，設(shè)P（m，﹣1），再判斷出△APB≌△DPE（SAS），得出PE＝BP，利用PE＝PB建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：針對(duì)于直線(xiàn)y＝﹣x+3，

令x＝0，則y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0，

則0＝﹣x+3，

∴x＝4，

∴B（4，0），

將點(diǎn)A（0，3），B（4，0）代入拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c中，得，

∴，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）如圖1，設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為M，

∵AC⊥AB，

∴∠OAM+∠OAB＝90°，

∵∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠OAM＝∠OBA，

∵∠AOB＝∠MOA＝90°，

∴△AOB∽△MOA，

∴，

∴MO＝＝，

∴M（﹣，0），

∵A（0，3），

∴直線(xiàn)AM的解析式為y＝x+3①，

由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+3②，

聯(lián)立①②解得，或，

∴C（﹣6，﹣5）；

（3）如圖2，

∵CD⊥y軸，EC＝ED，

∴點(diǎn)E是CD的垂直平分線(xiàn)上，

∴點(diǎn)E在AC上，

∴E（﹣3，﹣1），

由（1）知，A（0，3），B（4，0），

∴AB＝5，AE＝5，

∴AB＝AE，

∴∠AEO＝∠ABO＝45°，

∴∠AFB＝∠AEO+∠OAE＝45°+∠OAE，∠AGF＝∠ABO+∠BFG＝45°+∠BFG，

∵∠AGF＝∠AFB，

∴∠EAF＝∠BFG，

∵∠AEF＝∠FBG＝45°，

∴△AFE∽△FGB，

∴，

∴BG＝，

∵B（4，0），E（﹣3，﹣1），

∴直線(xiàn)BE的解析式為y＝x﹣，

∴F（0，﹣），

∴EF＝＝，BF＝，

∴BG＝＝，

∴AG＝AB﹣BG＝；

（4）如圖3，

∵△PAG≌△PDH，

∴∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，

∵PA＝PD，

∴點(diǎn)P在AD的垂直平分線(xiàn)上，

∵A（0，3），

∴設(shè)P（m，﹣1），

連接BP，PE，

∴PE＝m+3，BP＝，

∵D（0，﹣5），E（﹣3，﹣1），

∴DE＝5＝AB，

在△APB和△DPE中，，

∴△APB≌△DPE（SAS），

∴PE＝BP，

∴m+3＝，

∴m＝，

∴P（，﹣1）．