Question

【題目】幾何探究題

(1)發(fā)現(xiàn)：在平面內(nèi)，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．

當(dāng)點(diǎn)A在線段BC上時(shí)(如圖1)，線段AB的長取得最小值，最小值為　 　；

當(dāng)點(diǎn)A在線段BC延長線上時(shí)(如圖2)，線段AB的長取得最大值，最大值為　 　．

(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，如圖3，分別以AB、AC為邊，作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD、BE．

①證明：CD＝BE；

②若BC＝3，AC＝1，則線段CD長度的最大值為　 　．

(3)拓展：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)P為線AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．請直接寫出線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)a﹣b； a+b；(2)①證明見解析；②4；(3)滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+3．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于線段BC上時(shí)，線段AB的長取得最小值，根據(jù)點(diǎn)A位于BC的延長線上時(shí)，線段AB的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝BE；

②由于線段CD長的最大值＝線段BE的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+3；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

(1)∵當(dāng)點(diǎn)A在線段BC上時(shí)，線段AB的長取得最小值，最小值為BC﹣AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC﹣AC＝a﹣b，

當(dāng)點(diǎn)A在線段BC延長線上時(shí)，線段AB的長取得最大值，最大值為BC+AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC+AC＝a+b，

故答案為：a﹣b，a+b；

(2)①∵△ABD和△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ACD和△AEB中，，

∴△ACD≌△AEB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵線段CD的最大值＝線段BE長的最大值，

由(1)知，當(dāng)線段BE的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)E在BC的延長線上，

∴最大值為BC+CE＝BC+AC＝4，

故答案為：4；

(3)∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，連接BE，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如圖3中，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，P(2﹣，﹣)時(shí)，也滿足條件．

綜上述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+3．