Question

如圖，直線x=-4與x軸交于點(diǎn)E，一開口向上的拋物線過(guò)原點(diǎn)交線段OE于點(diǎn)A，交直線x=-4于點(diǎn)B，過(guò)B且平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0）。
（2）此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為或。

解析分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，由拋物線的對(duì)稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 ，即AE=2AF②，①與②聯(lián)立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)。
（2）先由拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0），設(shè)此拋物線的交點(diǎn)式為，再根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0）和A點(diǎn)（－2，0），求出對(duì)稱軸為直線x=-1，則由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，可分兩種情況討論：①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（－4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式；②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式。
解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①。
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE。
∴，即AE=2AF②。
①與②聯(lián)立，解得AE=2，AF=1。
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0）。
（2）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)A（－2，0），
∴可設(shè)此拋物線的解析式為，且對(duì)稱軸為直線x=－1。
∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=－1對(duì)稱，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2。
∴BC=2－（－4）=6。
∵拋物線開口向上，∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC。
∴當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論：
①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（－4，y₁），則，解得（負(fù)值舍去）。
∴B（－4，）。
將B（－4，）代入，得，解得。
∴此拋物線的解析式為，即。
②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y₂），則，解得（負(fù)值舍去）。
∴C（2，）。
將A C（2，）代入，得得，解得。
∴此拋物線的解析式為，即。
綜上所述，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為或。