【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣x+6與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求點A、B的坐標(biāo);
(2)設(shè)點P是線段AC上一點,且S△ABP:S△BCP=1:3,求點P的坐標(biāo);
(3)若直線y=x+a與拋物線交于M、N兩點,當(dāng)∠MON為銳角時,求a的取值范圍.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(2,0);(2)P(﹣, );(3)a<﹣3或<a<
【解析】試題分析:(1)將y=0代入y=-x2-x+6,得出-x2-x+6=0,解方程求得x1=-3,x2=2,即可得到點A、B的坐標(biāo);
(2)先由拋物線y=-x2-x+6與y軸交于點C,得出OC=6.根據(jù)同高的兩個三角形面積比等于底邊之比,得到,過P作PH⊥x軸,垂足為H,那么.由PH∥CO,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得PH=,AH=,那么HO=,進而得到點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線y=x+a與拋物線y=-x2-x+6交于M(x1,y1)、N(x2,y2)兩點(M在N的左側(cè)),由,得x2+x+a-6=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-,x1x2=a-6,由y1=x1+a,y2=x2+a,得到y1y2=(x1+a)(x2+a)=-a+a2.當(dāng)∠MON=90°時,由勾股定理得到OM2+O2=MN2,即=(x2-x1)2+(y2-y1)2,化簡整理得出x1x2+y1y2=0,依此求出a=-3或a=.再求出拋物線與直線只有一個公共點時,a=.然后結(jié)合圖形可知把直線y=x-3向下平移,∠MON是銳角;把直線y=x+向上平移,∠MON也是銳角,進而求出a的取值范圍.
試題解析:(1)∵y=-x2-x+6,
∴y=0時,即-x2-x+6=0,解得x1=-3,x2=2,
∴A(-3,0),B(2,0);
(2)令x=0,得y=6,即OC=6.
由于△ABP和△BCP的高相等,所以面積比等于底邊之比,
即,
過P作PH⊥x軸,垂足為H, .
∵PH∥CO,
∴,
∴PH=,AH=,
∴HO=,
∴P(-, );
(3)設(shè)直線y=x+a與拋物線y=-x2-x+6交于M(x1,y1)、N(x2,y2)兩點(M在N的左側(cè)),
由,得x2+x+a-6=0,
則x1+x2=-,x1x2=a-6,
∵y1=x1+a,y2=x2+a,
∴y1y2=(x1+a)(x2+a)
=x1x2+(x1+x2)a+a2
=-a+a2.
當(dāng)∠MON=90°時,OM2+ON2=MN2,
即=(x2-x1)2+(y2-y1)2,
∴x1x2+y1y2=0,
∴a-6+-a+a2=0,即a2+a-=0,
∴a=-3或a=.
若拋物線與直線只有一個公共點,即方程x2+x+a-6=0有兩個相等的實數(shù)根,
則△=b2-4ac=0,解得:a=.
把直線y=x-3向下平移,∠MON是銳角,此時a<-3,
把直線y=x+向上平移,∠MON也是銳角,此時<a<.
綜上所述,a的取值范圍是a<-3或<a<.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+2(a≠0)的圖象與x 軸交于A,B 兩點,與y 軸交于點C,已知點 A(-4,0),B(1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點 D(m,n) 是拋物線在第二象限的部分上的一動點,四邊形 的面積為 ,求 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系;
(3)若點 E 為拋物線對稱軸上任意一點,當(dāng)以 A,C,E 為頂點的三角形是直角三角形時,請求出滿足條件的所有點 E 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)觀察如圖所示的長方體后填空
用符號表示下列兩棱的位置關(guān)系:
A1B1____AB ,AA1____AB ,
A1D1____C1D1 , AD____BC;
(2)A1B1與BC所在的直線是兩條不相交的直線,他們_ ___平行線(填“是”或“不是”).由此可知,在__________,兩條不相交的直線才能叫平行線.
(3)在同一平面內(nèi),兩條不重合的直線位置關(guān)系只有_____種,即_____________.
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