Question

（2013•景德鎮(zhèn)二模）如圖①、②、③是兩個(gè)半徑都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合狀態(tài)沿水平方向運(yùn)動(dòng)到互相外切過程中的三個(gè)位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，分別連結(jié)O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如圖②，當(dāng)∠AO₁B=120°時(shí)，求兩圓重疊部分圖形的周長(zhǎng)l；
（2）設(shè)∠AO₁B的度數(shù)為x，兩圓重疊部分圖形的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）中，當(dāng)重疊部分圖形的周長(zhǎng)y=2π時(shí)，則線段O₂A所在的直線與⊙O₁有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．除此之外，它們是否還有其它的位置關(guān)系？如果有，請(qǐng)直接寫出其它位置關(guān)系時(shí)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，直接利用弧長(zhǎng)公式求出即可；
（2）利用弧長(zhǎng)公式直接求出y與x之間的關(guān)系即可；
（3）根據(jù)y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，即可得出∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，即可得出O₂A與⊙O₁相切，當(dāng)0≤x≤90°和0≤x≤180°時(shí)，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交．

解答：解：（1）解法一：依對(duì)稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×[

1

3

×(2π×2)]=

8π

3

；

解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B
∴四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l(xiāng)=2×

AO2B

=2×

120×π×2

180

=2×

120×π×2

180

=

8π

3

；

（2）∵由（1）知，菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B=x度，
∴重疊圖形的周長(zhǎng)y=2×

2×π×x

180

，即y=

π

45

x（0≤x≤180）；

（3）當(dāng)y=2π時(shí)，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相切！
理由如下：∵y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，
解得：x=90（度），
∴∠AO₁B=90°，因此菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是⊙O₁的半徑，且A為半徑之外端；
∴O₂A與⊙O₁相切．
還有如下位置關(guān)系：當(dāng)0≤x≤90°和0≤x≤180°時(shí)，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用和直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合得出直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．