【題目】(1)如圖1,D是等邊三角形ABC邊BA上一動點(點D)與點B不重合,連接CD,以CD為邊在BC上方作等邊三角形DCE,連接AE,你能發(fā)現(xiàn)AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
(2)如圖二,當(dāng)動點D在等邊三角形ABC邊BA上運動時(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在其上方、下方分別作等邊三角形DCE和等邊三角形DCF,連接AE,BF,探究AE,BF與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論.
(3)如圖三,當(dāng)動點D在等邊三角形ABC邊BA的延長線上運動時,其他作法與圖2相同,若AE=8,BF=2,請直接寫出AB= .
【答案】(1)見解析。(2)見解析。(3)6.
【解析】
(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,可得∠ACE=∠BCD,根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE,即AE=BE;
(2)由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,DC=CF,∠ACB=∠DCF=60°,可得∠FCB=∠DCA,根據(jù)“SAS”可證△ACD≌△BCF,即BF=AD,即可得AB=AE=BF;
(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可得AE=BD,BF=AD,即可求AB的長.
(1)AE=BD
理由如下:∵△ABC和△DCE是等邊三角形
∴AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠BCD,且AC=BC,DC=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴AE=BD
(2)AB=AE+BF,
理由如下:∵△ABC和△DCF是等邊三角形,
∴AC=BC,CF=CD,∠FCD=∠BCA=60°,
∴∠FCB=∠DCA,且AC=BC,CF=CD,
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴BF=AD,
由(1)可知,BD=AE,
∵AB=BD+AD,
∴AB=AE+BF
(3)∵△ABC和△DCE是等邊三角形,
∴AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,且AC=BC,DC=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴AE=BD=8,
∵△ABC和△DCF是等邊三角形,
∴AC=BC,CF=CD,∠FCD=∠BCA=60°,
∴∠FCB=∠DCA,且AC=BC,CF=CD,
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴BF=AD=2,
∵AB=BD﹣AD
∴AB=8﹣2=6
故答案為:6
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形的各邊分別平行于 軸或 軸,物體甲和物體乙分別由點 同時出發(fā),沿長方形 的邊作環(huán)繞運動.物體甲按逆時針方向以2個單位/秒勻速運動,物體乙按順時針方向以4個單位/秒勻速運動,則兩個物體運動后的第2020次相遇地點的坐標(biāo)是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,(1)∠BED與∠CBE是直線________,________被直線________所截形成的________角;
(2)∠A與∠CED是直線________,________被直線________所截形成的________角;
(3)∠CBE與∠BEC是直線________,________被直線________所截形成的________角;
(4)∠AEB與∠CBE是直線________,________被直線________所截形成的________角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(﹣2,﹣1),B(﹣4,1),C(﹣3,3).△ABC關(guān)于原點O對稱的圖形是△A1B1C1 .
(1)畫出△A1B1C1;
(2)BC與B1C1的位置關(guān)系是 , AA1的長為;
(3)若點P(a,b)是△ABC 一邊上的任意一點,則點P經(jīng)過上述變換后的對應(yīng)點P1的坐標(biāo)可表示為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,射線AM∥BN,點E,F,D在射線AM上,點C在射線BN上,且∠BCD=∠A,BE平分∠ABF,BD平分∠FBC.
(1)求證:AB∥CD.
(2)如果平行移動CD,那么∠AFB與∠ADB的比值是否發(fā)生變化?若變化,找出變化規(guī)律;若不變,求出這兩個角的比值.
(3)如果∠A=100°,那么在平行移動CD的過程中,是否存在某一時刻,使∠AEB=∠BDC?若存在,求出此時∠AEB的度數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直線AB,CD相交于O點,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠1=∠BOC,求∠AOC與∠MOD.
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【題目】如圖,∠ABD和∠BDC的平分線交于E,BE交CD于點F,∠1+∠2=90°.求證:
(1)AB∥CD;
(2)∠2+∠3=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探索:小明在研究數(shù)學(xué)問題:已知AB∥CD,AB和CD都不經(jīng)過點P,探索∠P與∠C的數(shù)量關(guān)系.
發(fā)現(xiàn):在如圖中,:∠APC=∠A+∠C;如圖
小明是這樣證明的:過點P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A(_ __)
∵PQ∥AB,AB∥CD.
∴PQ∥CD(__ _)
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(1)為小明的證明填上推理的依據(jù);
(2)應(yīng)用:①在如圖中,∠P與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系為__ _;
②在如圖中,若∠A=30 ,∠C=70 ,則∠P的度數(shù)為__ _;
(3)拓展:在如圖中,探究∠P與∠A,∠C的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),得到△A1B1C,連接BB1,設(shè)CB1交AB于D,A1B1分別交AB,AC于E,F(xiàn)
(1)求證:△CBD≌△CA1F;
(2)試用含α的代數(shù)式表示∠B1BD;
(3)當(dāng)α等于多少度時,△BB1D是等腰三角形.
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