Question

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B和D（4,）．

（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā),沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)S=PQ²（cm²）．
①試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
②當(dāng)S取時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由．
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：;
（2）①S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t²﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;
②存在.R點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,﹣）;
（3）M的坐標(biāo)為（1,﹣）．

解析試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c,求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假設(shè)存在點(diǎn)R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形,求出P、Q的坐標(biāo),再分為兩種種情況：A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R的坐標(biāo);
（3）A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,過B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M,求出直線BD的解析式,把拋物線的對(duì)稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo)．
試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c,
∵正方形的邊長(zhǎng)2,
∴B的坐標(biāo)（2,﹣2）A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴拋物線的解析式為：,
答：拋物線的解析式為：;
（2）①由圖象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ²=PB²+BQ²,
=（2﹣2t）²+t²,
即S=5t²﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t²﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;
②假設(shè)存在點(diǎn)R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．
∵S=5t²﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴當(dāng)S=時(shí),5t²﹣8t+4=,得20t²﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合題意,舍去）,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,﹣2）,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,﹣）,
若R點(diǎn)存在,分情況討論：
（i）假設(shè)R在BQ的右邊,如圖所示,這時(shí)QR=PB,RQ∥PB,
則R的橫坐標(biāo)為3,R的縱坐標(biāo)為﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右兩邊相等,
∴這時(shí)存在R（3,﹣）滿足題意;

（ii）假設(shè)R在QB的左邊時(shí),這時(shí)PR=QB,PR∥QB,
則R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在拋物線上．（1分）
綜上所述,存點(diǎn)一點(diǎn)R（3,﹣）滿足題意．
答：存在,R點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,﹣）;
（3）如圖,M′B=M′A,

∵A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,過B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M,
理由是：∵M(jìn)A=MB,若M不為L(zhǎng)與DB的交點(diǎn),則三點(diǎn)B、M、D構(gòu)成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距離之差為|DB|時(shí),差值最大,
設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐標(biāo)代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
拋物線的對(duì)稱軸是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐標(biāo)為（1,﹣）;
答：M的坐標(biāo)為（1,﹣）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．