Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

（1）求點C的坐標和過O、C、A三點的拋物線的解析式；

（2）P是此拋物線的對稱軸上一動點，當以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；

（3）M（x，y）是此拋物線上一個動點，當△MOB的面積等于△OAB面積時，求M的坐標．

Answer 1

解：（1）由已知條件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，

C點的坐標為（，3），

設過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

則，解得，

所求拋物線的解析式為y=﹣x²+2x．

（2）由題意，設P（，y），則：

OP²=y²+3、CP²=（y﹣3）²=y²﹣6y+9、OC²=12；

①當OP=CP時，6y=6，即 y=1；

②當OP=OC時，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；

③當CP=OC時，y²﹣6y﹣3=0，即 y=3±2；

∴P點的坐標是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；

（3）過A作AR⊥OB于R，過O作ON⊥MN于N，MN與y軸交于點D．

∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，

∴OA=2，OB=4，

由三角形面積公式得：4×AR=2×2，

AR=，

∵△MOB的面積等于△OAB面積，

∴在直線OB兩邊，到OB的距離等于的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，

∠NOD=∠BOA=30°，ON=，

則OD=2，

求出直線OB的解析式是y=x，

則這兩條直線的解析式是y=x+2，y=x﹣2，

解，，

解得：，，，

此時，M₁（，3）、M₂（，）．M₃（2，0）．M₄（﹣，﹣）．