Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線(xiàn)段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，對(duì)稱(chēng)軸公式為x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形BOA中，根據(jù)AB的長(zhǎng)和∠AOB的度數(shù)，求出OA的長(zhǎng)．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：OC=OA，∠COA=60°，過(guò)C作x軸的垂線(xiàn)，即可用三角形函數(shù)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）求出的A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，如果過(guò)M，P兩點(diǎn)分別作底的垂線(xiàn)ME和PQ，那么CE=PQ，可先設(shè)出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，CE就是C點(diǎn)縱坐標(biāo)與M點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，QD就是P點(diǎn)縱坐標(biāo)和D點(diǎn)縱坐標(biāo)的差．由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=2

3

由折疊知，∠COB=30°，OC=OA=2

3

∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3）；

（2）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)C（

3

，3）、A（2

3

，0）兩點(diǎn)，
∴

3=( 3 )2a+ 3 b 0=(2 3 )2a+2 3 b

，
解得：

a=-1 b=2 3

，
∴此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+2

3

x．
解法一：（3）存在．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=-x2+2

3

x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3）
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（8分）
作MP⊥x軸，垂足為N，
設(shè)PN=t，因?yàn)椤螧OA=30°，
所以O(shè)N=

3

t
∴P（

3

t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把x=

3

t代入y=-x2+2

3

x
得：y=-3t²+6t
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t）（10分）
同理：Q（

3

，t），D（

3

，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD（這時(shí)△PQD≌△MEC）
即3-（-3t²+6t）=t-1，解得：t1=

4

3

，t₂=1（不合題意，舍去）（11分）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

）（12分）
∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（

4

3

3

，

4

3

）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：y=-x2+2

3

x=-(x-

3

)2+3得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），
即點(diǎn)C恰好為頂點(diǎn)；（8分）
設(shè)MP交x軸于點(diǎn)N，
∵M(jìn)P∥y軸，CH為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸
∴MP∥CD且CM與DP不平行
∴四邊形CDPM為梯形
若要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，則∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此時(shí)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)與線(xiàn)段CB所在直線(xiàn)的交點(diǎn)（9分）
設(shè)BC的解析式為y=mx+n
由（2）得C（

3

，3）、B（2

3

，2）
∴

3= 3 m+n 2=2 3 m+n

解得：

m=- 3 3 n=4

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-

3

3

x+4（10分）
由

y=-x2+2 3 x y=- 3 3 x+4

得x1=

4 3

3

，x2=

3

∴ON=

4

3

3

（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=

PN

ON

得PN=

4

3

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

）（12分）
∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形全等、等腰梯形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．