Question

（2003•河南）如圖，AB是⊙O的直徑，O為圓心，AB=20，DP與⊙O相切于點(diǎn)D，DP⊥PB，垂足為P，PB與⊙O交于點(diǎn)C，PD=8．
①求BC的長(zhǎng)；
②連接DC，求tan∠PCD的值；
③以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求直線BD的解析式．

Answer 1

分析：①首先連接AC，OD，相交于點(diǎn)F，易證得四邊形PDFD是矩形，即可求得CF=PD=8，然后由垂徑定理，求得AC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得BC的長(zhǎng)；
②由勾股定理可求得OF的長(zhǎng)，繼而求得DF，即PC的長(zhǎng)，則可求得tan∠PCD的值；
③首先過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線BD的解析式．

解答：解：①連接AC，OD，相交于點(diǎn)F，
∵AB是⊙O的直徑，DP與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴∠ACB=90°，OD⊥PD，
∵DP⊥PB，
∴∠P=∠ODF=∠BCF=90°，
∴四邊形PDFC是矩形，
∴CF=PD=8，
∴AF=CF=8，
即AC=16，
在Rt△ABC中，AB=20，
∴BC=

AB2-AC2

=12；

②∵OA=OD=

1

2

AB=10，AF=8，
∴在Rt△AOF中，OF=

OA2-AF2

=6，
∴DF=OD-OF=10-6=4，
∵四邊形PDFC是矩形，
∴PC=DF=4，
∴tan∠PCD=

PD

PC

=

8

4

=2；

③過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵OD∥PB，
∴∠DOE=∠ABC，
在Rt△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

4

5

，cos∠ABC=

BC

AB

=

3

5

，
∴sin∠DOE=

4

5

，cos∠DOE=

3

5

，
∴DE=OD•sin∠DOE=10×

4

5

=8，OE=OD•cos∠DOE=10×

3

5

=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（20，0），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
∴

4k+b=8 20k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=10

，
∴直線BD的解析式為：y=-

1

2

x+10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．