Question

（2003•河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE•AD=16，AB=4

5

，
（1）求證：CE=EF；
（2）求EG長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD平分∠CAB交BC于點D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等，CE=EF，
（2）因為∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，列出比例式整理即可得到AC²=AE•AD，代入數(shù)據(jù)計算即可求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出BC的長度為8，最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=

1

2

BC．

解答：（1）證明：∵AD平分∠CAB交BC于點D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE=∠FAE AE=AE ∠AEC=∠AEF=90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
即AC²=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC=

AB2-AC2

=8，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

×8=4．

點評：本題主要考查兩角對應相等，兩三角形相似，相似三角形對應邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵，難度適中．