Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，在直線l3上有點P（點P與點C、D不重合），點A在直線l1上，點B在直線l2上。

（1）如果點P在C、D之間運動時，試說明∠1+∠3=∠2；

（2）如果點P在直線l1的上方運動時，試探索∠1，∠2，∠3之間的關系又是如何？

（3）如果點P在直線l2的下方運動時，試探索∠PAC，∠PBD，∠APB之間的關系又是如何？ （直接寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當點P在線段DC的延長線上時，∠2=∠3-∠1（3）∠APB+∠PBD=∠PAC

【解析】分析：（1）過點P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出結(jié)論；

（2）如圖2所示，當點P在直線l1的上方運動時，∠2=∠3-∠1，過點P作PF∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠FPA=∠1，∠FPB=∠3， 即可得∠2=∠FPB-∠PFA=∠3-∠1；（3）∠APB+∠PBD=∠PAC，類比（2）的方法證明即可．

詳解：

（1）證明：如圖1，過點P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．

又∵∠2=∠APE+∠BPE，

∴∠2=∠1+∠3；

（2）如圖2所示，當點P在直線l1的上方運動時，∠2=∠3-∠1．

理由：過點P作PF∥l1，

∠FPA=∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB=∠3，

∴∠2=∠FPB-∠PFA=∠3-∠1；

（3）∠APB+∠PBD=∠PAC，

理由：如圖3所示，點P在直線l2的下方運動時，∠APB+∠PBD=∠PAC．

理由：過點P作PE∥l2，∠EPB=∠3．

∵l1∥l2，

∴PE∥l1，

∴∠EPA=∠1，

∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3．

即∠APB+∠PBD=∠PAC.