Question

【題目】探究：如圖①，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn) m 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，BD⊥m 于點(diǎn) D，CE⊥m 于點(diǎn) E，求證：△ABD≌△CAE．

應(yīng)用：如圖②，在△ABC 中，AB＝AC，D、A、E 三點(diǎn)都在直線(xiàn) m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DE＝BD+CE．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)BD⊥直線(xiàn)m,CE⊥直線(xiàn)m得∠BDA=∠CEA=90,而∠BAC=90,根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA.則AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;

(2)利用∠BDA=∠BAC=α,則∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,進(jìn)而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.

證明：（1）∵BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS）；

（2）設(shè)∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠CAE＝∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE．