Question

已知x₁、x₂是拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且x₁²+x₂²=10．
求：（1）x₁、x₂的值；
（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意x₁、x₂是拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，寫出兩根之積與兩根之和，再根據(jù)x₁²+x₂²=10，求出m的值，從而求出x₁、x₂的值；
（2）由（1）求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求解．

解答：解：（1）拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)x²-2（m-1）x+m²-7=0時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=2(m-1) x1x2=m2-7

則x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-8m+18
因?yàn)閤₁²+x₂²=10，
所以2m²-8m+18=10，即x²-4x+4=0，
解之得m=2，
將m=2代入x²-2（m-1）x+m²-7=0得方程x²-2x-3=0，
解這個(gè)方程得x₁=-1，x₂=3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）因?yàn)閤₁，x₂是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
所以拋物線的對稱軸為x=1，
將x=1代入拋物線y=x²-2x-3，得y=-4，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．

點(diǎn)評：主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，還考查了函數(shù)的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．