已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A(-4,3),點(diǎn)B在x軸上,△AOB是等腰三角形.
(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過O,A,B三點(diǎn)且開口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式(只需求出滿足條件的一條即可);
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)P,使得以O(shè),A,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.
【答案】分析:(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),易求得OA=5,若△AOB是等腰三角形,應(yīng)分三種情況考慮:
①OA=OB=5,由于點(diǎn)B的位置不確定,因此要分B在x軸正、負(fù)半軸兩種情況求解,已知了OB的長,即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo);
②OA=AB=5,此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上,那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)應(yīng)為點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍,可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
③AB=OB=5,此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上,可在x軸上截取AD=OA,通過構(gòu)建相似三角形:△OBA∽△OAD,通過所得比例線段來求出OB的長,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)任選一個(gè)(1)題所得的B點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)解此題時(shí),雖然不同的拋物線有不同的解,但解法一致;分兩種情況:
①OA∥BP時(shí),可分別過A、P作x軸的垂線,設(shè)垂足為C、E,易證得△AOC∽△PBE,根據(jù)所得比例線段,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出.
②OP∥AB時(shí),方法同上,過P作PF⊥x軸于F,然后通過相似三角形:△ABC∽△POF,來求出P點(diǎn)坐標(biāo),梯形面積求法同上.(當(dāng)OA=AB時(shí),兩種情況的點(diǎn)P正好關(guān)于拋物線對稱軸對稱,可據(jù)此直接求出P點(diǎn)坐標(biāo),避免重復(fù)計(jì)算.)
解答:解:作AC⊥x軸,由已知得OC=4,AC=3,OA==5.
(1)當(dāng)OA=OB=5時(shí),
如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-5,0);
如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上,如圖(2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0);

當(dāng)OA=AB時(shí),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(3),BC=OC,則OB=8,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-8,0);
當(dāng)AB=OB時(shí),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(4),在x軸上取點(diǎn)D,使AD=OA,可知OD=8.
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,

解得OB=,
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-,0).


(2)當(dāng)AB=OA時(shí),拋物線過O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三點(diǎn),
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx,
可得方程組,
解得a=,,
;
當(dāng)OA=OB時(shí),同理得

(3)當(dāng)OA=AB時(shí),若BP∥OA,如圖(5),作PE⊥x軸,
則∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,
△AOC∽△PBE,
設(shè)BE=4m,PE=3m,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4m-8,-3m),
代入
解得m=3;
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-9),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48.
若OP∥AB,根據(jù)拋物線的對稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-12,-9),
S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48.


當(dāng)OA=OB時(shí),若BP∥OA,如圖(6),作PF⊥x軸,
則∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,
△AOC∽△PBF,;
設(shè)BF=4m,PF=3m,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4m-5,-3m),
代入
解得m=.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=
若OP∥AB(圖略),作PF⊥x軸,
則∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,
△ABC∽△POF,;
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-n,-3n),
代入,
解得n=9.
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75.
點(diǎn)評:此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識.同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,一定要考慮全面,避免漏解.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線,這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且OA=OB=1,這條曲線是函數(shù)y=
12x
的圖象在第一限內(nèi)的一個(gè)分支,點(diǎn)P是這條曲線的任意一點(diǎn),它的坐標(biāo)是(a,b),由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN(點(diǎn)M、N為垂足)分別與直線AB相交于點(diǎn)E和F.
(1)求△OEF的面積(a,b的代數(shù)式表示);
(2)△AOF與△BOE是否一定相似?如果一定相似,請證明;如果不一定相似,請說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí),△OEF隨之變動(dòng),指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中,是否有大小始終保精英家教網(wǎng)持不變的角?若有,請求出其大;若沒有,請說明理由.

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(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)P,使得以O(shè),A,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.

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如圖,已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線,這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且OA=OB=1.這條曲線是函數(shù)y=
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的圖象在第一象限的一個(gè)分支,點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn),它的坐標(biāo)是(a、b),由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PM、PN,垂足是M、N,直線AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F.
(1)點(diǎn)E坐標(biāo)是
(a,1-a)
(a,1-a)
,點(diǎn)F坐標(biāo)是
(1-b,b)
(1-b,b)
(用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo),用含b的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo))
(2)求△OEF的面積(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示);
(3)△AOF與△BOE是否相似?若相似,請證明;若不相似,請簡要說明理由.
(4)當(dāng)點(diǎn)P在曲線y=
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2x
上移動(dòng)時(shí),△OEF隨之變動(dòng),指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中,大小始終保持不變的那個(gè)角,并求出此角的大小,同時(shí)證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1997•上海)已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線,這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且OA=OB=1,這條曲線是函數(shù)y=
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的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)分支,點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn),它的坐標(biāo)是(a,b),由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN(點(diǎn)M、N為垂足)分別與直線AB相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.
(1)設(shè)交點(diǎn)E和F都在線段AB上(如圖所示),分別求點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo),用b的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo),只須寫出答案,不要求寫出計(jì)算過程).
(2)求△OEF的面積(結(jié)果用a、b的代數(shù)式表示).
(3)△AOF與△BOE是否一定相似?如果一定相似,請予以證明;如果不一定相似或者一定不相似,請簡要說明理由.
(4)當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí),△OEF隨之變動(dòng),指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中,大小始終保持不變的那個(gè)角和它的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第6章《二次函數(shù)》中考題集(28):6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

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