Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線(xiàn)和一條曲線(xiàn)，這條直線(xiàn)和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1．這條曲線(xiàn)是函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a、b），由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線(xiàn)PM、PN，垂足是M、N，直線(xiàn)AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F．
（1）點(diǎn)E坐標(biāo)是

（a，1-a）

，點(diǎn)F坐標(biāo)是

（1-b，b）

（用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，用含b的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)）
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）△AOF與△BOE是否相似？若相似，請(qǐng)證明；若不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=

1

2x

上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個(gè)角，并求出此角的大小，同時(shí)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由PM與x軸垂直，E在PM上，得到E的橫坐標(biāo)與P相同，同理F的縱坐標(biāo)與P相同，求出直線(xiàn)AB的解析式，將E的橫坐標(biāo)及F的縱坐標(biāo)分別代入，即可確定出E與F的坐標(biāo)；
（2）三角形EOF的面積=三角形AOB的面積-三角形BOF的面積-三角形AOE的面積，表示即可；
（3）根據(jù)題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對(duì)應(yīng)成比例即可；
（4）應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，易知：直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1，
點(diǎn)E的坐標(biāo)是（a，1-a），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1-b，b）；
故答案為：（a，1-a）；（1-b，b）；

（2）∵OA=OB=1，NF=1-b，EM=1-a，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×（1-a）-

1

2

×1×（1-b）=

a+b-1

2

；

（3）△AOF和△BEO一定相似，理由為：
證明：∵OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2x

圖象上任意一點(diǎn)，
∴b=-

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a•

2

b=1，
又∵OB•OA=1，
∴AF•BE=OB•OA，即

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，外角性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．