一開口向上的拋物線與x軸交于A(m-2,0),B(m+2,0)兩點(m為常數(shù)),記拋物線頂點為C,且AC⊥BC.
(1)求點C的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)若m小于0,那么(2)中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點?
分析:(1)設對稱軸與x軸的交點為E,根據(jù)點A、B的坐標求出AB的長度以及對稱軸解析式,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE的長度,從而得解;
(2)根據(jù)頂點坐標設出拋物線的頂點式解析式,然后把點A的坐標代入解析式求解即可;
(3)根據(jù)m<0判斷出頂點所在的象限,然后根據(jù)點的平移變換解答.
解答:解:(1)如圖,∵A(m-2,0),B(m+2,0),
∴AB=(m+2)-(m-2)=m+2-m+2=4,
m+2+m-2
2
=m,
∴拋物線對稱軸為x=m,
∵拋物線頂點為C,且AC⊥BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,且CE=
1
2
AB=
1
2
×4=2,
∴點C的坐標為(m,-2);

(2)設拋物線解析式為y=a(x-m)2-2,
則a(m-2-m)2-2=0,
解得a=
1
2
,
∴拋物線解析式為y=
1
2
(x-m)2-2;

(3)∵m<0,
∴頂點坐標(m,-2)在第三象限,
∴拋物線y=
1
2
(x-m)2-2向右平移(-m)個單位,向上平移2個單位可以使頂點在坐標原點.
點評:本題是對二次函數(shù)的綜合考查,點的坐標,兩點間的距離,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,拋物線的頂點式解析式的利用,以及平移變換的性質(zhì),難度不大,熟悉用字母表示數(shù)是解題的關鍵.
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(1)若m是常數(shù),求拋物線的解析式;
(2)設拋物線交y軸正半軸于D點,拋物線的對稱軸交x軸于E點.問是否存在實數(shù)m,使得△EOD為等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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(2)若m為小于0的常數(shù),那么(1)中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點;
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