Question

一開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為C，且AC⊥BC．
（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；
（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過(guò)怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題點(diǎn)是未知的，因?yàn)閽佄锞�與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0），可以把拋物線設(shè)為兩點(diǎn)式，根據(jù)AC⊥BC的關(guān)系解出C點(diǎn)坐標(biāo)從而得到拋物線解析式；
（2）用圖象平移，m為小于零的常數(shù)，只需將拋物線向右平移|m|個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位就可以了；
（3）假設(shè)存在，求出△BOD三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，則有兩邊相等，從而解出m．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a．（2分）
∵AC⊥BC，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4，
∴C（m，-2）代入得a=

1

2

．
∴解析式為：y=

1

2

（x-m）²-2．（5分）
（亦可求C點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式）

（2）∵m為小于零的常數(shù)，
∴只需將拋物線向右平移|m|個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可以使拋物線y=

1

2

（x-m）²-2頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．（7分）

（3）由（1）得D（0，

1

2

m²-2），設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，
∴只能OD=OB．（9分）

1

2

m²-2=|m+2|，當(dāng)m+2＞0時(shí)，解得m=4或m=-2（舍）．
當(dāng)m+2＜0時(shí)，解得m=0或m=-2（舍）；
∵m=0時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），在y軸的負(fù)半軸，
∴m=0舍去；
當(dāng)m=-2，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），也不合題意舍去；
當(dāng)m+2=0時(shí)，即m=-2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合（不合題意，舍）
綜上所述：存在實(shí)數(shù)m=4，使得△BOD為等腰三角形．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查拋物性質(zhì)，巧妙設(shè)拋物線解析式，還考了三角形垂直性質(zhì)和拋物線的平移，最后探究存在性問(wèn)題．