Question

【題目】為迎接中國森博會，某商家計劃從廠家采購A，B兩種產(chǎn)品共20件，產(chǎn)品的采購單價（元/件）是采購數(shù)量（件）的一次函數(shù)，下表提供了部分采購數(shù)據(jù)．

采購數(shù)量（件）	1	2	…
A產(chǎn)品單價（元/件）	1480	1460	…
B產(chǎn)品單價（元/件）	1290	1280	…

（1）設(shè)A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x（件），采購單價為y1（元/件），求y1與x的關(guān)系式；
（2）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的 ，且A產(chǎn)品采購單價不低于1200元，求該商家共有幾種進貨方案；
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A，B兩種產(chǎn)品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y1與x的關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，

由表知 ，

解得k=﹣20，b=1500，

即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x為整數(shù)）

（2）解：根據(jù)題意可得

，

解得11≤x≤15，

∵x為整數(shù)，

∴x可取的值為：11，12，13，14，15，

∴該商家共有5種進貨方案

（3）解：解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

令總利潤為W，

則W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

∵a=30＞0，

∴當(dāng)x≥9時，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當(dāng)x=15時，W最大=10650；

解法二：根據(jù)題意可得B產(chǎn)品的采購單價可表示為：

y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

則A、B兩種產(chǎn)品的每件利潤可分別表示為：

1760﹣y1=20x+260，

1700﹣y2=﹣10x+600，

則當(dāng)20x+260＞﹣10x+600時，A產(chǎn)品的利潤高于B產(chǎn)品的利潤，

即x＞ =11 時，A產(chǎn)品越多，總利潤越高，

∵11≤x≤15，

∴當(dāng)x=15時，總利潤最高，

此時的總利潤為（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650．

答：采購A種產(chǎn)品15件時總利潤最大，最大利潤為10650元．

【解析】（1）設(shè)y1與x的關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函數(shù)關(guān)系式即可求出；（2）首先根據(jù)題意求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進貨方案；（3）令總利潤為W，根據(jù)利潤=售價﹣成本列出W與x的函數(shù)關(guān)系式W=30x2﹣540x+12000，把一般式寫成頂點坐標(biāo)式，求出二次函數(shù)的最值即可．