Question

【題目】如圖，函數(shù)y=的圖象與雙曲線y=（k≠0，x＞0）相交于點(diǎn)A（3，m）和點(diǎn)B．

（1）求雙曲線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在y軸上，連接PA，PB，求當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3）；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）．

【解析】分析：(1)由一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)的解析式，解由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組可求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，直線A′B與y的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，用待定系數(shù)法求直線A′B的解析式后即可求點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解：(1)把A(3，m)代入y＝2x，可得m＝2×3＝6，∴A(3，6)，

把A(3，6)代入y＝，可得k＝3×6＝18，

∴雙曲線的解析式為y＝；

當(dāng)x>3時(shí)，解方程組，可得或(舍去)

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，3).

(2)如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－3，6)，連接A′P，則A′P＝AP，

∴PA＋PB＝A′P＋BP≥A′B

當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB的最小值等于A′B的長.

設(shè)A′B的解析式為y＝ax＋b，

把A′(－3，6)，B(6，3)代入，可得，解得.

∴A′B的解析式為y＝x＋5，

令x＝0，則y＝5，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，5).