Question

【題目】已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是（填“梯形”“矩形”或“菱形”）

Answer 1

【答案】矩形
【解析】解：四邊形EFGH的形狀是矩形，理由為： 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EH為△ABD的中位線，F(xiàn)G為△BCD的中位線，
∴EH= BD，EH∥BD，F(xiàn)G= BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又HG為△ACD的中位線，
∴HG∥AC，又HE∥BD，
∴四邊形HMON為平行四邊形，
又AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∴四邊形HMON為矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH為矩形．
所以答案是：矩形．

【考點(diǎn)精析】掌握三角形中位線定理和矩形的判定方法是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．