Question

【題目】正方形ABCD的邊AB在直線(xiàn)MN上，O是AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥MN于點(diǎn)E．

（1）如圖1，線(xiàn)段AB與OE之間的數(shù)量關(guān)系為 ．（請(qǐng)直接填結(jié)論）

（2）保證點(diǎn)A始終在直線(xiàn)MN上，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（0＜＜90°），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．

① 如圖2，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)MN右側(cè)時(shí)，試猜想線(xiàn)段AF、BF與OE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

② 如圖3，當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)分別在直線(xiàn)MN兩側(cè)時(shí)，此時(shí)①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出變化后的結(jié)論并證明．

③ 當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時(shí)，線(xiàn)段AF、BF與OE之間的數(shù)量關(guān)系為 ．（請(qǐng)直接填結(jié)論）

Answer 1

【答案】（1）AB＝2OE;（2）①AF+BF=2OE, ②AF-BF=2OE, ③BF-AF=2OE,詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；

（2）圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；

（3）圖3，作OG⊥BF于G，可得四邊形EFGO是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=GO，GF=EO，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△BOG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=OE，AE=BG，再根據(jù)BF-BG=GF，整理即可得證．

（1）AB＝2OE

（2）①AF+BF=2OE，

證明：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H∴∠BHE＝∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE＝∠OEF＝90°∴四邊形EFBH為矩形∴BF＝EH，EF＝BH

∵四邊形ABCD為正方形∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠HOB＝∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE＝∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE＝OH，OE＝BH

∴AF+BF＝AE+EF+BF＝OH+BH+EH＝OE+OE＝2OE．

②AF-BF=2OE，

證明：延長(zhǎng)OE，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OE于點(diǎn)H

∴∠EHB＝90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO＝∠HEF＝∠BFE＝90°

∴四邊形HBFE為矩形∴BF＝HE，EF＝BH

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠BOH＝∠OBH+∠BOH

∴∠AOE＝∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）

∴AE＝OH，OE＝BH∴AF－BF

＝AE+EF－HE＝OH－HE+OE＝OE+OE＝2OE

③BF-AF=2OE