Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒5個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)連結(jié)PQ，若△AOB和以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

(2)連結(jié)AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值；

(3)試證明：PQ的中點(diǎn)在△AOB的一條中位線上.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=1或t=時(shí)，△AOB和以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似；（2）t=；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B坐標(biāo)，得到OA、OB的值，然后分情況討論：①當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BOA；②當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BAO，根據(jù)比例式，分別代入數(shù)據(jù)求出t值即可；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QC⊥y軸，垂足為C，根據(jù)△BCQ∽△BOA可求出CQ=3t，CO=8-4t，然后根據(jù)AP⊥OQ利用同角的余角相等證明∠CQO=∠APO，進(jìn)而得到△AOP∽△OCQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可；

（3）首先求出P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，可得PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，4），由△AOB的一條中位線所在直線為y=4可得結(jié)論.

解：(1)令y=0，則，

解得：x=6，

∴A(6，0)，則OA=6，

令x=0，則y=8，

∴B(0，8)，則OB=8，

∵∠AOB=90°

∴AB=，

由已知得OP=4t，BQ=5t，

∴BP=8-4t，

∵∠OBA=∠PBQ，

∴分兩種情況討論

①當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BOA，

∴，解得t=1；

②當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BAO，

∴，解得t=，

綜上所述，當(dāng)t=1或t=時(shí)，△AOB和以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似；

(2)過(guò)點(diǎn)Q作QC⊥y軸，垂足為C，

則CQ//OA，

∴△BCQ∽△BOA，

∴，

∴，

解得：BC=4t，CQ=3t，

∴CO=8-4t，

∵∠QCO=90°，

∴∠CQO+∠COQ=90°，

∵AP⊥OQ，

∴∠COQ+∠APO=90°，

∴∠CQO=∠APO，

∴△AOP∽△OCQ ，

∴，

∴

解得t=；

(3)由（2）得BC=4t，CQ=3t，OC=8-4t，

∴P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，

∴PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，4），

∵△AOB的一條中位線所在直線為y=4，

∴PQ的中點(diǎn)在△AOB的一條中位線上.