Question

【題目】如圖，小明畫(huà)了一個(gè)銳角，并作出了它的兩條高和，兩高相交于點(diǎn)．小明說(shuō)圖形中共有兩對(duì)相似三角形，他說(shuō)的對(duì)嗎？請(qǐng)你判定一下，如果正確，就其中的一對(duì)進(jìn)行說(shuō)理．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

由圖可知，在直角△ADC中有一個(gè)小直角△AEP，它們公共角是∠CAD，另外都有一個(gè)直角，所以運(yùn)用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似可得△AEP∽△ADC，在直角△BCE中有一個(gè)小直角△BDP，同理得到△BDP∽△BEC.又直角△AEP與直角△BDP，有一個(gè)對(duì)頂角相等，且都有一個(gè)直角，所以△BDP∽△AEP.

則由三角形相似的傳遞性可知△AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC，則它們兩兩相似，故有六對(duì).

小明的說(shuō)法不正確，因?yàn)閳D形中存在著6對(duì)相似三角形． 它們分別是：△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，

△BDP∽△BEC

證明：∵BE⊥AC，AD⊥BC（已知）

∴∠CEP=∠AEP=90°

又∵∠CAD=∠PAE(公共角)

∴△AEP∽△ADC（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

同理可得：△BDP∽△BEC

在△BDP與△AEP中

有∠AEP=∠BDP=90°

∠APE=∠BPD（對(duì)頂角相等）

∴△BDP∽△AEP（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

由相似的傳遞性證得：△AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC

故有三角形兩兩相似六對(duì)：

△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，

△BDP∽△BEC