Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別與x軸，y軸交于過點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且AB=AC，AB⊥AC，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）判斷直線AB與CD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A,B,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）AB∥CD，證明見解析；（3）存在，（，1），（，1），（，-1），（，-1）．

試題分析：（1）求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．
（2）根據(jù)勾股定理求出AC，CD，AD的長(zhǎng)，從而根據(jù)勾股定理逆定理得到△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．
（3）由題意可知，要使得以A,B,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，只需要點(diǎn)N到x軸的距離與點(diǎn)B到x軸的距離相等．據(jù)此列出方程求解即可．
（1）由題意可求點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B（0,1）．
過點(diǎn)C作CE⊥x軸，易證△AOB≌△ECA．
∴ OA=CE=2，OB=AE=1．
∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2）．
將點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)C(3，2)代入，
得，，解得．
∴二次函數(shù)的解析式為．

（2）AB∥CD．證明如下：
令，解得．
∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0）．
可求 ．
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴ AB∥CD．
（3）如圖，由題意可知，要使得以A,B,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，只需要點(diǎn)N到x軸的距離與點(diǎn)B到x軸的距離相等．
∵ B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1），
∴ 點(diǎn)N到x軸的距離等于1．
可得和．
解這兩個(gè)方程得．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（，1），（，1），（，-1），（，-1）．