Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1,2），與x軸相交于另一點(diǎn)B(3,0)，將點(diǎn)B向右平移3個單位得點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)M在線段OC上，平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，使得四邊形ABMQ為菱形，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖像上時，求OP的長；
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，若P點(diǎn)運(yùn)動t秒時，直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

（1）y=-x²+3x；（2）（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；（3）或.

試題分析：（1）可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，利用二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），B（3，0），分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）分M是AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)；M在B點(diǎn)左邊并且BM=AB；M在B點(diǎn)右邊并且BM=AB；三種情況討論可得點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）①過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長；
②分兩種情況討論，求出t的值即可．
試題解析：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），B（3，0），
∴，
解得．
故二次函數(shù)解析式為：y=-x²+3x；
（2）M是AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)是（1，0）；
M在B點(diǎn)左邊并且BM=AB，點(diǎn)M坐標(biāo)是（3-2，0）；
M在B點(diǎn)右邊并且BM=AB，點(diǎn)M坐標(biāo)是（3+2，0）；
故點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；
（3）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴，
即，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=；
即OP=．
②直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，此刻t的值為：或.