【題目】已知二次函數(shù)(為常數(shù)).
(1)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像與軸總有公共點(diǎn).
(2)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.
(3)已知點(diǎn)、,線段與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn),則的取值范圍是__________.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)計(jì)算判別式的值得到△≥0,從而根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論;
(2)利用配方法得到二次函數(shù)y=x2-2mx+2m-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-(m-1)2),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷;
(3)先計(jì)算出拋物線y=-(x-1)2與直線y=-1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后結(jié)合圖象得到a+2≥0且a≤2.
(1)令,則.
∵,,,
∴.
∵,
∴.
∴一元二次方程有實(shí)數(shù)根.
故不論取何值,函數(shù)與軸總有公共點(diǎn).
(2)∵.
∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
把代入,得.
∴不論為何值,該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)都在函數(shù)上.
(3)當(dāng)y=-1時(shí),y=-(x-1)2=-1,解得x1=0,x2=2,
當(dāng)a+2≥0且a≤2時(shí),線段AB與函數(shù)y=-(x-1)2的圖象有公共點(diǎn),
所以a的范圍為-2≤a≤2.
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在圖(1)中,在中,,垂足為點(diǎn),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿射線運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)在射線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),連接.若與的重疊部分面積為,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,關(guān)于的函數(shù)圖象如圖(2)所示(其中,,時(shí),函數(shù)解析式不同).
(1)求的長(zhǎng);
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,已知拋物線y=ax2﹣3x+c與y軸交于點(diǎn)A(0,﹣4),與x軸交于點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P是線段AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí),∠PAB=90°求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB下方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng),在移動(dòng)中,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,△PAB的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并求t為何值時(shí)S有最大值,最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O,過點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)E,交AD邊于點(diǎn)F,則=( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點(diǎn).
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點(diǎn) F 為 AD 上一點(diǎn),AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點(diǎn) F,G 均為 AD上的點(diǎn),AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn),如圖,的三個(gè)頂點(diǎn),,均為格點(diǎn),上的點(diǎn)也為格點(diǎn),用無刻度的直尺作圖:
(1)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,寫出格點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將線段平移至線段,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,直接寫出格點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)畫出線段關(guān)于對(duì)稱的線段,保留作圖痕跡.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F,設(shè)PA=x。
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F(xiàn),E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC的邊AB,AC的外側(cè)分別作等邊△ABD和等邊△ACE,連接DC,BE.
(1)求證:DC=BE;
(2)若BD=3,BC=4, BD⊥BC于點(diǎn)B,請(qǐng)求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當(dāng)時(shí),請(qǐng)問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么?以下是他的研究過程:
特例驗(yàn)證:(1)①如圖2,當(dāng)為等邊三角形時(shí),猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______;②如圖3,當(dāng),時(shí),則長(zhǎng)為________.
猜想論證:(2)在圖1中,當(dāng)為任意三角形時(shí),猜想與的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
拓展應(yīng)用:(3)如圖4,在四邊形,,,,,,在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn),使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系?若存在,請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出的邊上的中線的長(zhǎng)度;若不存在,說明理由.
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