【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)若點(diǎn)H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;

(3)一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),∠OMB=90°?

(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+;(2)(3)(4)在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分,P().

【解析】

試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出GH,點(diǎn)F的坐標(biāo),用三角形的面積公式計(jì)算即可;(3)設(shè)出點(diǎn)M,用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出MD,最后求出時(shí)間t;(4)由∠PBF被BA平分,確定出過(guò)點(diǎn)B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點(diǎn)即可.

試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),

,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;

(2)如圖1,

過(guò)點(diǎn)A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,

由(1)有,C(0,﹣2),

∵B(0,3),

∴直線BC解析式為y=x﹣2,

∵H(1,y)在直線BC上,

∴y=﹣

∴H(1,﹣),

∵B(3,0),E(0,﹣1),

∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1,

∴G(1,﹣),

∴GH=,

∵直線BE:y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F,B,

∴F(,﹣),

∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|

=GH×|xB﹣xF|

=××(3﹣

=

(3)如圖2,

由(1)有y=﹣x2+x﹣2,

∵D為拋物線的頂點(diǎn),

∴D(2,),

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),

∴設(shè)M(2,m),(m>),

∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,

∵∠OMB=90°,

∴OM2+BM2=AB2,

∴m2+4+m2+1=9,

∴m=或m=﹣(舍),

∴M(0,),

∴MD=,

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),

∴t=

(4)存在點(diǎn)P,使∠PBF被BA平分,

如圖3,

∴∠PBO=∠EBO,

∵E(0,﹣1),

∴在y軸上取一點(diǎn)N(0,1),

∵B(3,0),

∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,

聯(lián)立①②得,(舍),

∴P(,),

即:在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分,P(,).

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(1)將矩形OCDE沿AB折疊,點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)F處.

①點(diǎn)B的坐標(biāo)為( 、 ),BK的長(zhǎng)是 ,CK的長(zhǎng)是 ;

②求點(diǎn)F的坐標(biāo);

③請(qǐng)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)將矩形OCDE沿著經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)G處,連接OG,折痕與OG相交于點(diǎn)H,點(diǎn)M是線段EH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)H重合),連接MG,MO,過(guò)點(diǎn)G作GP⊥OM于點(diǎn)P,交EH于點(diǎn)N,連接ON,點(diǎn)M從點(diǎn)E開始沿線段EH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng),至與點(diǎn)N重合時(shí)停止,△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2,在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,S1S2(即S1與S2的積)的值是否發(fā)生變化?若變化,請(qǐng)直接寫出變化范圍;若不變,請(qǐng)直接寫出這個(gè)值.

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