Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為長方形，C點(diǎn)在x軸，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)是(3，4)，長方形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，F(2，4)．

（1）求G點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）△EFG的面積為　 　（直接填空）；

（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）G點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FB=AB-AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由三角函數(shù)求出∠BFG=60°，得出∠AFE=∠EFG=60°，由三角函數(shù)求出AE=AFtan∠AFE=2，代入三角形面積公式計(jì)算即可；

（3）因?yàn)?/span>M、N均為動(dòng)點(diǎn)，只有FG已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照FG為一邊、FG為對(duì)角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用直線解析式求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），F（2，4），

∴AB=3，OA=BC=4，AF=2，

∴BF=AB-AF=1，

由折疊的性質(zhì)得：△EFA≌△EFG，GF=AF=2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=90°，

∴

∴

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）在Rt△BFG中，cos∠BFG=

∴∠BFG=60°，

∴∠AFE=∠EFG=60°，

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=

∵△EFA的面積=

∴△EFG的面積=

故答案為：

（3）若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：

①FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸正半軸上，如圖1所示．

過點(diǎn)作⊥x軸正半軸于點(diǎn)H，

∵

∴

又∵AB∥OQ

∴∠HQF=∠BFG

∴

又∵

在△和△GBF中，

∴

∴

由（2）得：

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，則

解得：

∴直線EF的解析式為

∵當(dāng)時(shí)， ，

∴點(diǎn) 的坐標(biāo)為

②FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，如圖2所示．

仿照與①相同的辦法，可求得

③FG為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3所示．

過 作FB延長線的垂線，垂足為H

則

在△和△中，

∴

∴

∴的縱坐標(biāo)為

代入直線EF解析式，得到的橫坐標(biāo)為

∴

綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)M的坐標(biāo)為：