Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+2ax+c與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，△ABC的面積為6，拋物線頂點(diǎn)為M．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，直線y=kx+k-3與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在Q點(diǎn)左側(cè)），問(wèn)在y軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMQN為矩形？若存在，求N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若D為拋物線上任意一點(diǎn)，E（-1，s）為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若對(duì)任意一點(diǎn)D都有ED≥EM，求s的最大值及相應(yīng)E點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1）y=x+2x-3；（2）y軸上存在點(diǎn)N，使四邊形PMQN為矩形，證明見(jiàn)解析；（3）s最大值為-，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-）

【解析】

（1）求拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱求得B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而依據(jù)三角形面積求出點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-1），即求得c的值．再把點(diǎn)B代入解析式即求出答案．

（2）設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)為n，根據(jù)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為MN、PQ中點(diǎn)，用n表示MN、PQ交點(diǎn)S的坐標(biāo)．把直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組，消去y化簡(jiǎn)后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出PQ兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求N點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t+2t-3），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式用含t、s的式子表示ED和EM，由ED≥EM列得不等式并進(jìn)行化簡(jiǎn)得（t+1） [（t+1）2+（-7-2s）]≥0，由于（t+1）≥0，討論（t+1）+（-7-2s）≥0得7+2s≤（t+1）．因?yàn)閷?duì)于任意的t值，此式都成立因此7+2s≤0求得s的最大值為-．

解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x==-1，A（-3，0）

∴B（1，0），

∴AB=4

∵S△ABC=ABOC=6

∴OC=3

∴C（0，-3），c=-3

將B（1，0）代入y=ax+2ax-3得a+2a-3=0

解得：a=1

∴拋物線的解析式為：y=x+2x-3

（2）y軸上存在點(diǎn)N，使四邊形PMQN為矩形．

連接PN，MN，MN交PQ于點(diǎn)S，設(shè)N（0，n）

∵四邊形PMQN為矩形

∴MN=PQ，SP=SQ=SM=SN

∵點(diǎn)M（-1，-4），點(diǎn)N在y軸上

∴S（，）

由整理得x+（2-k）x-k=0

設(shè)方程兩根為xP，xQ，則xP+xQ=k-2，

∵S（，）也為PQ中點(diǎn)

∴（xP+xQ）=，

∴xP+xQ=-1，即k-2=-1，解得：k=1

∴直線PQ的解析式為：y=x-2

解方程組得：，；

∴

∴

∴n=-1

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，四邊形PMQN為矩形．

（3）設(shè)D（t，t+2t-3）

∵E（-1，s），M（-1，-4）

∴EM=|s+4|，ED2=（t+1）+（t+2t-3-s）=（t+1）+[（t+1）-4-s] =（t+1）+（t+1）4-2（t+1）（4+s）+（4+s）=（t+1）4+（t+1）（-7-2s）+（4+s）

∵ED≥EM

∴（t+1）4+（t+1）（-7-2s）+（4+s）≥（4+s）

∴（t+1）4+（t+1）（-7-2s）≥0

∴（t+1） [（t+1）+（-7-2s）]≥0

∵（t+1）≥0

∴（t+1）+（-7-2s）≥0

∴7+2s≤（t+1）

∵對(duì)于任意的t值，此式都成立

∴7+2s≤0

∴s最大值為-，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-）