Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，-5）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）設點P為拋物線上的一個動點，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時點P的坐標；

（3）在拋物線上BC段有另一個動點Q，以點Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線BC相切，在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q. 若存在，請直接寫出最大⊙Q的半徑；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x-3；y=x2-2x-3；（2）P1（-2，5），P2（1，-4）（3）存在，

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)拋物線的對稱軸和點A的坐標得出點B的坐標，然后將點B和點C的坐標代入解析式得出一次函數(shù)解析式，將二次函數(shù)設成交點式，然后將點C的坐標代入求出二次函數(shù)的解析式；(2)、根據(jù)題意得出AB=4，OB=OC=3，則∠OCB=∠OBC=45°，設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，MB=2，然后分B為直角頂點和C為直角頂點兩種情況分別求出點P的坐標；

(3)、首先設出點Q的坐標，然后得出點Q到直線BC的距離，然后根據(jù)點Q到直線BC的距離等于半徑得出答案.

點晴：本題主要考查的就是函數(shù)解析式的求法、直角三角形的性質、切線的性質以及分類討論思想.求函數(shù)解析式我們一般采用待定系數(shù)法進行求解.

在函數(shù)里面出現(xiàn)幾何問題時，一定要注意分類討論，然后根據(jù)直角三角形直角頂點的不同位置，從而得出兩種不同的情況，分別根據(jù)直角三角形的性質得出答案.

在解決這種類型的題目時我們一定要注意分類討論以及根據(jù)特殊三角形的性質進行解答，即使有一種不符合題意的情況也需要進行說明，最后根據(jù)實際情況進行舍去即可.

在直線和圓的位置關系中，當圓心到直線的距離等于半徑時，則直線與圓相切，對于這種問題分別利用公式得出圓與直線的距離和圓的半徑，然后根據(jù)相等列出方程得出答案.

試題解析：（1）∵對稱軸為x=2，且拋物線經(jīng)過A（1，0）， ∴B（3，0）．

把B（3，0）、C（0，3）分別代入y=mx+n，

得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x-3；

∵對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0），

∴點B（3，0），

設y=a（x-3）（x+1），

把C（0，-3）代入解得：a=1，

故解析式為：y=x2-2x-3；

（2）由（1）得：AB=4，OB=OC=3，

∴∠OCB=∠OBC=45°.

設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，則MB=2.

①如圖，若B為直角頂點，

設BP交拋物線的對稱軸為點N1，則∠MBP=45°，

∴N1M=MB=2，即N1（1，2），

則直線N1B的表達式為y=-x+3， ，

解得 (舍去)， ，所以P1（-2，5）；

②如圖，若C為直角頂點，設BP交拋物線的對稱軸為點N2，過點N2作y軸的垂線，垂足為點E，

則∠PCE=45°，∴CE=EN2=OM=1，∴ON2=4，即N2（1， -4）,

則直線N2C的表達式為y=-x-3， ，

解得 (舍去)， ，

所以P2（1，-4）；綜上所述，滿足條件的點P共有兩個，分別為P1（-2，5），P2（1，-4）；

（3）存在，最大⊙Q的半徑為 .