Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是2，點E是CD邊的中點，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把∠C沿直線EF折疊，使點C落在點C′處．當△ADC′為等腰三角形時，FC的長為_____．

Answer 1

【答案】或1．

【解析】

由題意DE=EC=EC′=1，由三角形三條邊的關(guān)系可知DC′≠DA，所以只要分兩種情形討論即可：①如圖1中，當AD=AC′=2時，連接AE．先證△ADE≌△AC′E，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求解即可；②如圖2中，當點F在BC中點時，易證AC′=DC′，滿足條件，此時CF=1．

由題意DE=EC=EC′=1，

∴DC′＜1+1

∴DC′≠DA，只要分兩種情形討論即可：

①如圖1中，當AD=AC′=2時，連接AE．

∵AE=AE，AD=AC′，DE=DC′，

∴△ADE≌△AC′E，

∴∠ADE=∠AC′E=90°，

∵∠C=∠FC′E=90°，

∴∠AC′E+∠FC′E=180°，

∴A、C′、F共線，設(shè)CF=x，則BF=2﹣x，AF=2+x，

在Rt△ABF中，22+（2﹣x）2=（2+x）2，

解得x= ．

②如圖2中，當點F在BC中點時，易證AC′=DC′，滿足條件，此時CF=1．

綜上所述，滿足條件的CF的長為或1．

故答案為或1．