Question

如圖1，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c與x軸相交于點A，C，與y軸相交于點B，連接AB，BC，點A的坐標為（2，0），tan∠BAO=2，以線段BC為直徑作⊙M交AB與點D，過點B作直線l∥AC，與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E，F．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）求點C的坐標和線段EF的長；
（3）如圖2，連接CD并延長，交直線l于點N，點P，Q為射線NB上的兩個動點（點P在點Q的右側，且不與N重合），線段PQ與EF的長度相等，連接DP，CQ，四邊形CDPQ的周長是否有最小值？若有，請求出此時點P的坐標并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）∵點A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴點B的坐標為（0，4）．
∵拋物線y=-

2

3

x²+bx+c過點A，B，
∴

- 8 3 +2b+c=0 c=4

，
解得

b=- 2 3 c=4

，
∴此拋物線的解析式為y=-

2

3

x²-

2

3

x+4．

（2）∵拋物線對稱軸為直線x=-

1

2

，
∴點A的對稱點C的坐標為（-3，0），
點B的對稱點E的坐標為（-1，4），
∵BC是⊙M的直徑，
∴點M的坐標為（-

3

2

，2），
如圖2，過點M作MG⊥FB，則GB=GF，
∵M（-

3

2

，2），
∴BG=

3

2

，
∴BF=2BG=3，
∵點E的坐標為（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四邊形CDPQ的周長有最小值．
理由如下：∵BC=

OC2+OB2

=

32+42

=5，AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC為⊙M直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D為AB中點，
∴點D的坐標為（1，2）．
作點D關于直線l的對稱點D₁（1，6），點C向右平移2個單位得到C₁（-1，0），連接C₁D₁與直線l交于點P，點P向左平移2個單位得到點Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．
設直線C₁D₁的函數表達式為y=mx+n（m≠0），
∴

-m+n=0 m+n=6

，

m=3 n=3

，
∴直線C₁D₁的表達式為y=3x+3，
∵y_p=4，
∴x_p=

1

3

，
∴點P的坐標為（

1

3

，4）；
C_{四邊形CDPQ最小}=2

5

+2

10

+2．