Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意兩點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，給出如下定義：

將|x1﹣x2|稱(chēng)為點(diǎn)M，N之間的“橫長(zhǎng)”，|y1﹣y2|稱(chēng)為點(diǎn)M，N之間的縱長(zhǎng)”，點(diǎn)M與點(diǎn)N的“橫長(zhǎng)”與“縱長(zhǎng)”之和稱(chēng)為“折線(xiàn)距離”，記作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．

例如：若點(diǎn)M(﹣1，1)，點(diǎn)N(2，﹣2)，則點(diǎn)M與點(diǎn)N的“折線(xiàn)距離”為：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6．

根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：

已知點(diǎn)P(3，2)．

（1）若點(diǎn)A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；

（2）已知點(diǎn)B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接寫(xiě)出b的取值范圍；

（3）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)T與點(diǎn)P的“橫長(zhǎng)”與“縱長(zhǎng)”相等，且d(P，T)＞5，簡(jiǎn)要分析點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t或0＜t．

【解析】

（1）將點(diǎn)P與點(diǎn)A代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|即可求解；

（2）將點(diǎn)B與點(diǎn)P代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|，得到d（P，B）＝|3b|＋|2b|，分三種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行化簡(jiǎn)，有當(dāng)b＜2 時(shí)，d（P，B）＝3b＋2b＝52b＜3；當(dāng)2≤b≤3時(shí)，d（P，B）＝3b＋b2＝1＜3；當(dāng)b＞3時(shí)，d（P，B）＝b3＋b2＝2b5＜3；

（3）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，m），由點(diǎn)T與點(diǎn)P的“橫長(zhǎng)”與“縱長(zhǎng)”相等，得到|t3|＝|m2|，得到t與m的關(guān)系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，結(jié)合求解即可．

（1）∵點(diǎn)P(3，2)，點(diǎn)A(a，2)，

∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，

∴a=﹣2或a=8；

（2）∵點(diǎn)P(3，2)，點(diǎn)B(b，b)，

∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，

當(dāng)b＜2 時(shí)，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，

∴b＞1，∴1＜b＜2；

當(dāng)2≤b≤3時(shí)，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，

∴2≤b≤3；

當(dāng)b＞3時(shí)，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，

∴b＜4，∴3＜b＜4；

綜上所述：1＜b＜4；

（3）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，m)，

點(diǎn)T與點(diǎn)P的“橫長(zhǎng)”=|t﹣3|，

點(diǎn)T與點(diǎn)P的“縱長(zhǎng)”=|m﹣2|．

∵點(diǎn)T與點(diǎn)P的“橫長(zhǎng)”與“縱長(zhǎng)”相等，

∴|t﹣3|=|m﹣2|，

∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，

∴m=t﹣1或m=5﹣t．

∵點(diǎn)T是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

∴m＞0，

∴t＞1或t＜5，

又∵d(P，T)＞5，

∴2|t﹣3|＞5，

∴t或t，

∴t或0＜t．