Question

【題目】（1）如圖1，四邊形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（表示面積）

（2）如圖2，在中，過邊的中點(diǎn)任意作直線，交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，試比較與的面積，并說明理由．

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)且分別于軸正半軸，軸正半軸交于點(diǎn)、，請(qǐng)問的面積是否存在最小值?若存在，求出此時(shí)一次函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△ABC＜S△EBF，理由見解析；（3）存在，y=-2x+8

【解析】

（1）運(yùn)用△ADE≌△FCE得出S四邊形ABCD=S△ABF；

（2）過A作AM∥BC，交EF與D，證明△PAD≌△PCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較即可；

（3）由前兩問的結(jié)論可得出當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，△AOB的面積最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OP=OB=OA，設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，再綜合點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，可得方程，解出即可得到一次函數(shù)表達(dá)式.

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE，
即S四邊形ABCD=S△ABF；

（2）如圖2，過A作AD∥BC，交EF與D，
∵P為AC中點(diǎn)，
∴PA=PC，
∵AD∥BC，
∴∠PAD=∠C
在△PAD和△PCF中，

，

∴△PAD≌△PCF（ASA），
∴S△PAD=S△PCF
∴S△PAD+S△EAD＞S△PCF
即S△PFC＜S△PAE，

則S△ABC＜S△EBF；

（3）由（1）（2）結(jié)論可知：當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，△AOB的面積最小，

連接OP，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，

∴OP=OA=OB，

∵AB過點(diǎn)P（2，4），

設(shè)AB表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)P代入得：b=4-2k，

可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4-2k），

則PB=，

OP==，

∴=，

解得：k=-2或2，

∵AB與x軸、y軸交于正半軸，

∴k≠2，

即k=-2，

此時(shí)b=8，

則一次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-2x+8.