Question

甲、乙兩同學(xué)對關(guān)于y、x的拋物線f：y=x²-2mx+2m²+2m進(jìn)行探討交流時，各得出一個結(jié)論．
甲同學(xué)：當(dāng)拋物線f經(jīng)過原點時，頂點在第三象限平分線所在的直線上；
乙同學(xué)：不論m取什么實數(shù)值，拋物線f頂點一定不在第四象限．
（1）請你求出拋物線f經(jīng)過原點時m的值及頂點坐標(biāo)，并說明甲同學(xué)的結(jié)論是否正確？
（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確嗎？若你認(rèn)為正確，請求出當(dāng)實數(shù)m變化時，拋物線f頂點的縱橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明頂點不在第四象限的理由；若你認(rèn)為不正確，求出拋物線f頂點在第四象限時，m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）拋物線f經(jīng)過原點時，2m²+2m=0 則：m₁=0或 m₂=-1
∴當(dāng)m=-1時拋物線f表達(dá)式為y=x²+2x頂點（-1，-1），
當(dāng)m=0時拋物線f表達(dá)式為y=x²，頂點（0，0）
由于頂點（-1，-1）和頂點（0，0）都在第三象限的平分線所在的直線上，
∴甲同學(xué)結(jié)論正確，

（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確，
∵拋物線f的解析式y(tǒng)=x²-2mx+2m²+2m可變?yōu)閥=（x-m）²+m²+2m
∴拋物線f的頂點為（m，m²+2m），若設(shè)拋物線f的頂點為（x，y）
則：，
∴拋物線f頂點的縱橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x，
又由于拋物線y=x²+2x的頂點為（-1，-1），與x軸的交點為（0，0），（-2，0），
拋物線開口向上．∴拋物線y=x²+2x不可能在第四象限．
即：不論m取什么實數(shù)值，拋物線f頂點一定不在第四象限．
分析：（1）根據(jù)拋物線f經(jīng)過原點時，得到2m²+2m=0，解得：m₁=0或 m₂=-1，然后分別求出兩種情況下的頂點坐標(biāo)即可判斷哪個同學(xué)說的正確；
（2）拋物線f的解析式y(tǒng)=x²-2mx+2m²+2m可變?yōu)閥=（x-m）²+m²+2m得到拋物線f的頂點為（m，m²+2m），若設(shè)拋物線f的頂點為（x，y），然后求得拋物線f頂點的縱橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x，最后即可得到其不在第四象限．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意從問題中整理出二次函數(shù)模型．