Question

（2012•江西模擬）甲、乙兩同學(xué)對(duì)關(guān)于y、x的拋物線f：y=x²-2mx+2m²+2m進(jìn)行探討交流時(shí)，各得出一個(gè)結(jié)論．
甲同學(xué)：當(dāng)拋物線f經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)在第三象限平分線所在的直線上；
乙同學(xué)：不論m取什么實(shí)數(shù)值，拋物線f頂點(diǎn)一定不在第四象限．
（1）請(qǐng)你求出拋物線f經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)m的值及頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說(shuō)明甲同學(xué)的結(jié)論是否正確？
（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確嗎？若你認(rèn)為正確，請(qǐng)求出當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，拋物線f頂點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明頂點(diǎn)不在第四象限的理由；若你認(rèn)為不正確，求出拋物線f頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線f經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，得到2m²+2m=0，解得：m₁=0或 m₂=-1，然后分別求出兩種情況下的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷哪個(gè)同學(xué)說(shuō)的正確；
（2）拋物線f的解析式y(tǒng)=x²-2mx+2m²+2m可變?yōu)閥=（x-m）²+m²+2m得到拋物線f的頂點(diǎn)為（m，m²+2m），若設(shè)拋物線f的頂點(diǎn)為（x，y），然后求得拋物線f頂點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x，最后即可得到其不在第四象限．

解答：解：（1）拋物線f經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，2m²+2m=0 則：m₁=0或 m₂=-1
∴當(dāng)m=-1時(shí)拋物線f表達(dá)式為y=x²+2x頂點(diǎn)（-1，-1），
當(dāng)m=0時(shí)拋物線f表達(dá)式為y=x²，頂點(diǎn)（0，0）
由于頂點(diǎn)（-1，-1）和頂點(diǎn)（0，0）都在第三象限的平分線所在的直線上，
∴甲同學(xué)結(jié)論正確，

（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確，
∵拋物線f的解析式y(tǒng)=x²-2mx+2m²+2m可變?yōu)閥=（x-m）²+m²+2m
∴拋物線f的頂點(diǎn)為（m，m²+2m），若設(shè)拋物線f的頂點(diǎn)為（x，y）
則：

x=m y=m2+2m

，
∴拋物線f頂點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x，
又由于拋物線y=x²+2x的頂點(diǎn)為（-1，-1），與x軸的交點(diǎn)為（0，0），（-2，0），
拋物線開(kāi)口向上．∴拋物線y=x²+2x不可能在第四象限．
即：不論m取什么實(shí)數(shù)值，拋物線f頂點(diǎn)一定不在第四象限．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意從問(wèn)題中整理出二次函數(shù)模型．