【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知直線y=﹣ x+4與y軸交于A點(diǎn),與x軸交于B點(diǎn),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,0).
(1)求證:直線AB⊥AC;
(2)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線l的解析式和對(duì)稱軸;
(3)在直線AB上方的拋物線l上,是否存在一點(diǎn)P,使直線AB平分∠PBC?
若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
證明:當(dāng)y=0時(shí),x=8,即B(8,0),當(dāng)x=0時(shí),y=4,即A(0,4).
∵△AOB、△AOC是直角三角形,
∴AC2=OC2+AO2=20,AB2=OB2+AO2=80,
∵AC2+AB2=20+80=100,BC2=[8﹣(﹣2)]2,
∴AC2+AB2=BC2,
∴AC⊥AB
(2)
解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
,
解得a ,
拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4,
y=﹣ x2+ x+4=﹣ (x﹣3)2+ ,
拋物線的對(duì)稱軸是x=3
(3)
解:在直線AB上方的拋物線l上,存在一點(diǎn)P,使直線AB平分∠PBC,理由如下:
如圖ADBE是菱形,設(shè)D(x,0),BD=8﹣x,
由勾股定理,得
x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,
AD的解析式為y=﹣ x+4,
BE的解析式為y=﹣ x+b,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入,解得b= ,
BE的解析式為y=﹣ x+ ,
聯(lián)立BE與拋物線,得
,
消元化簡(jiǎn),得
3x2﹣34x+80=0,
△=342﹣4×3×80=169,
∴x1=8(舍棄),x2= ,
x= 時(shí),y=
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為( , )時(shí),使直線AB平分∠PBC
【解析】(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得A、B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)勾股定理,可得AB、AC的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理,可得答案;(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;根據(jù)配方法,可得對(duì)稱軸;(3)根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角,可得ADBE是菱形,根據(jù)平行間的一次項(xiàng)的系數(shù)相等,可得BE的解析式,根據(jù)解方程組,可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用勾股定理的概念,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置,HG=24cm,MG=8cm,MC=6cm,則陰影部分的面積是____cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),向量 可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為 =(m,n).
已知: =(x1 , y1), =(x2 , y2),如果x1x2+y1y2=0,那么 與 互相垂直,下列四組向量:
① =(2,1), =(﹣1,2);
② =(cos30°,tan45°), =(1,sin60°);
③ =( ﹣ ,﹣2), =( + , );
④ =(π0 , 2), =(2,﹣1).
其中互相垂直的是(填上所有正確答案的符號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知, , ,試說(shuō)明:BE∥CF.
完善下面的解答過(guò)程,并填寫理由或數(shù)學(xué)式:
解:∵ (已知)
∴AE∥ ( 。
∴( )
∵(已知)
∴ ( 。
∴DC∥AB( 。
∴( 。
即
∵(已知)
∴( 。
即
∴BE∥CF( 。 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC是等邊三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于點(diǎn)P,下列說(shuō)法:①∠APE=∠C,② AQ=BQ,③BP=2PQ, ④AE+BD=AB,其正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D為等邊△ABC的邊AC上一點(diǎn),E為直線AB上一點(diǎn),CD=BE.
(1)如圖1,求證;AD=DE;
(2)如圖2,DE交CB于點(diǎn)P.
①若DE⊥AC,PC=6,求BP的長(zhǎng);
②猜想PD與PE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,點(diǎn)D為AB 的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)用含有t的代數(shù)式表示CP.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別相交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上, P到軸、軸的距離分別為、。
(1)當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí),求的值;
(2)直接寫出的范圍,并求當(dāng)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若在線段AB 上存在無(wú)數(shù)個(gè)P點(diǎn),使(為常數(shù)), 求的值.
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