【題目】如圖,拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn),與x軸的另一個交點(diǎn)為(2,0),將拋物線C1向右平移m(m>0)個單位得到拋物線C2 , C2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線C1的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD,當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C2的對稱軸上時,求拋物線C2的解析式;
(3)若拋物線C2的對稱軸存在點(diǎn)P,使△ PAC為等邊三角形,求m的值.
【答案】
(1)解:∵拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn),與X軸的另一個交點(diǎn)為(2,0),
∴ ,解得 ,
∴拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x,
∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,﹣1).
(2)解:如圖1,
∵拋物線C1向右平移m(m>0)個單位得到拋物線C2,
∴C2的解析式為y=(x﹣m﹣1)2﹣1,
∴A(m,0),B(m+2,0),C(0,m2+2m),
過點(diǎn)C作CH⊥對稱軸DE,垂足為H,
∵△ACD為等腰直角三角形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE,
∵∠DEA=90°,
∴△CHD≌△DEA,
∴AE=HD=1,CH=DE=m+1,
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2,
由OC=EH得m2+2m=m+2,解得m1=1,m2=﹣2(舍去),
∴拋物線C2的解析式為:y=(x﹣2)2﹣1.
(3)解:如圖2,連接BC,BP,
由拋物線對稱性可知AP=BP,
∵△PAC為等邊三角形,
∴AP=BP=CP,∠APC=60°,
∴C,A,B三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心,PA為半徑的圓上,
∴∠CBO= ∠CPA=30°,
∴BC=2OC,
∴由勾股定理得OB= = OC,
∴ (m2+2m)=m+2,
解得m1= ,m2=﹣2(舍去),∴m= .
【解析】(1)把(0,0)及(2,,0)代入y=x2+bx+c,求出拋物線C1的解析式,即可求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)先求出C2的解析式,確定A、B、C的坐標(biāo),過點(diǎn)C作CH⊥對稱軸DE,垂足為H,利用△ACD為等腰直角三角形,求出角的關(guān)系可證得△CHD≌△DEA,再由OC=EH列出方程求解得出m的值即可得出拋物線C2的解析式.
(3)連接BC,BP,由拋物線對稱性可知AP=BP,由△PAC為等邊三角形,可得AP=BP=CP,∠APC=60°,由C,A,B三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心,PA為半徑的圓上,可得BC=2OC,利用勾股定理求出OB=OC,列出方程求出m的值即可.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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【題目】某次數(shù)學(xué)測驗(yàn),抽取部分同學(xué)的成績(得分為整數(shù)),整理制成如圖直方圖,根據(jù)圖示信息描述正確的是( )
A.抽樣的學(xué)生共60人
B.60.5~70.5這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為12
C.估計(jì)這次測試的及格率(60分為及格)在92%左右
D.估計(jì)優(yōu)秀率(80分以上為優(yōu)秀)在32%左右
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【題目】如圖,一個半徑為r的圓形紙片在邊長為a( )的等邊三角形內(nèi)任意運(yùn)動,則在該等邊三角形內(nèi),這個圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是( )
A.
B.
C.
D.πr2
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【題目】如圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上.
(1)△ABC的面積為 ;
(2)將△ABC經(jīng)過平移后得到△A′B′C′,圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B',補(bǔ)全△A′B′C′;
(3)在圖中畫出△ABC的高CD;
(4)能使S△ABC=S△QBC的格點(diǎn)Q(A點(diǎn)除外)共有 個.
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【題目】關(guān)于x的方程 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
(1)求m的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC 的角平分線交 AC 于 D,BD=4 ,過點(diǎn) C作 CE⊥BD 交 BD 的延長線于 E,則 CE 的長為( )
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【題目】某水果店計(jì)劃進(jìn)A,B兩種水果共140千克,這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示
進(jìn)價(jià)元千克 | 售價(jià)元千克 | |
A種水果 | 5 | 8 |
B種水果 | 9 | 13 |
若該水果店購進(jìn)這兩種水果共花費(fèi)1020元,求該水果店分別購進(jìn)A,B兩種水果各多少千克?
在的基礎(chǔ)上,為了迎接春節(jié)的來臨,水果店老板決定把A種水果全部八折出售,B種水果全部降價(jià)出售,那么售完后共獲利多少元?
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②若點(diǎn)B是整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)),則滿足條件的點(diǎn)B有4個;
③在坐標(biāo)系內(nèi),對于任意滿足題意的點(diǎn)B,一定存在一點(diǎn)C,使得△CAB、△COA、△COB面積相等;
④在坐標(biāo)系內(nèi),存在一個定點(diǎn)D,使得對于任意滿足條件的點(diǎn)B,△DBA、△DBO面積相等.
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