Question

兩個(gè)直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如圖一所示的位置放置，點(diǎn)O與E重合．
（1）Rt△AOB固定不動(dòng)，Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)Rt△CED以（1）中的速度和方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間x=2秒時(shí)，Rt△CED運(yùn)動(dòng)到如圖二所示的位置，若拋物線y=

1

4

x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A，G，求拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)P到x軸或y軸的距離為2的情況？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得重疊部分是等腰直角三角形．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的路程=速度×?xí)r間=2x．再根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，即可進(jìn)一步求得等腰直角三角形的面積；
（2）只需求得點(diǎn)A和點(diǎn)G的坐標(biāo)．根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)即可寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的路程=速度×?xí)r間，得到OE=4，再進(jìn)一步根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得G（2，2），然后根據(jù)待定系數(shù)法代入求解；
（3）根據(jù)題意，應(yīng)考慮兩種情況．若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是2，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)是±2；當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離是2，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是±2．

解答：解：（1）①由題意知重疊部分是等腰直角三角形，作GH⊥OE．
∴OE=2x，GH=x，
∵y=

1

2

OE•GH=

1

2

•2x•x=x²（0≤x≤3）

（2）A（6，6）
當(dāng)x=2時(shí)，OE=2×2=4．
∴OH=2，HG=2，
∴G（2，2）．

6= 1 4 •36+6b+c 2= 1 4 •4+2b+c

∴X

b=-1 c=3

∴y=

1

4

x²-x+3．

（3）設(shè)P（m，n）．
當(dāng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2時(shí)，
有|m|=2，
∴|m|=2．當(dāng)m=2時(shí)，得n=2，
當(dāng)m=-2時(shí)，得n=6．
當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為2時(shí)，有|n|=2．
∵y=

1

4

x²-x+3
=

1

4

（x-2）²+2＞0
∴n=2．當(dāng)n=2時(shí)，得m=2．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P₁（2，2），P₂（-2，6）．

點(diǎn)評(píng)：能夠熟練根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；能夠運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離即是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，點(diǎn)到x軸的距離即是該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．