Question

兩個(gè)直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按圖1所示的位置放置，A與C重合，O與C重合．
（1）求圖1中，A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）Rt△AOB固定不動(dòng)，Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后Rt△CED和Rt△AOB重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)Rt△CED以（2）中的速度和方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間x=4秒時(shí)Rt△CED運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置，求經(jīng)過A，G，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）現(xiàn)有一半徑為2，圓心P在（3）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，試問⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在⊙P與x軸或y軸相切的情況？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角邊為6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右運(yùn)動(dòng)，且DE=6，所以在運(yùn)動(dòng)過程中有兩種情況，即D點(diǎn)仍停留在y軸左側(cè)和D在y軸右側(cè)，需分情況討論．在第一種情況中，重合部分為兩個(gè)全等的直角梯形，在第二種情況中，重合部分為一個(gè)等腰直角三角形，面積易求出．
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，即為（2）中第二種情況，此時(shí)A、G、C坐標(biāo)均可求出，可利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．
（4）當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況，具體分兩種，與x軸相切和與y軸相切，當(dāng)與y軸相切時(shí)可能在y軸左邊也可能在y軸右邊，因此又有兩種情況，與x軸相切時(shí)一種情況．

解答：解：（1）A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．（2分）

（2）當(dāng)0≤x＜3時(shí)，位置如圖A所示，
作GH⊥DB，垂足為H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[

1

2

（6-x）²-

1

2

（6-2x）²]
=2（-

3

2

x²+6x）
=-3x²+12x（3分）
當(dāng)3≤x≤6時(shí)，位置如圖B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=

1

2

(

2

2

DB)2
=

1

2

[

2

2

（12-2x）]²=x²-12x+36（4分）
（求梯形IOHG的面積及△DGB的面積時(shí)只要所用方法適當(dāng)，所得結(jié)論正確均可給分）
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

-3x2+12x(0≤x＜3) x2-12x+36(3≤x≤6)

；（5分）

（3）圖B中，作GH⊥OE，垂足為H，
當(dāng)x=4時(shí)，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=

1

2

DB=2，OH=6-HB=6-

1

2

，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），6分
∴經(jīng)過A，G，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=

1

4

（x-4）²+2=

x2

4

-2x+6；（7分）

（4）當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，有|x₀|=2，x₀=±2，
由x₀=-2，得：y₀=11，
∴P₁（-2，11）
由x₀=2，得y₀=3，
∴P₂（2，3）
當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，有|y₀|=2
y=

1

4

（x-4）²+2＞0
∴y₀=2，得：x₀=4，
∴P₃（4，2）
綜上所述，符合條件的圓心P有三個(gè)，
其坐標(biāo)分別是：P₁（-2，11），P₂（2，3），P₃（4，2）．10分（每求出一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)得1分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要是把運(yùn)動(dòng)問題和二次函數(shù)緊密聯(lián)系，考慮問題要全面．