【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如圖1,若直線AD與BC相交于M,過點B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長BD至E,使得DE=DC,過點E作EF⊥CD于F,證明:AD=EF+BD.
(2)如圖2,若直線AD與CB的延長線相交于M,過點B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長BD至E,使得DE=DC,過點E作EF⊥CD交CD的延長線于F,探究:AD、EF、BD之間的數(shù)量關系,并證明.
【答案】(1)見解析;(2)AD+BD=EF,理由見解析.
【解析】
(1)將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,得到BD=CG,延長GC交DE于點H,證明四邊形ADHG為正方形,則AD=GH,證明△DEF≌△DCH,得到EF=CH,則得出結(jié)論;
(2)作CN⊥AM,證明△DEF≌△CDN,得到EF=DN,證明△ADB≌△CNA.得到BD=AN.則AD+AN=DN=EF.
證明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴△ABC為等腰直角三角形,
如圖1,將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,
∴BD=CG,
延長GC交DE于點H,
∵AD⊥BE,∠DAG=∠AGC=90°,AD=AG,
∴四邊形ADHG為正方形,
∴∠DHC=90°,
∴AD=GH,
∵DE=DC,EF⊥CD,∠EDF=∠CDH,
∴△DEF≌△DCH(AAS),
∴EF=CH,
∴AD=GH=GC+CH=EF+BD;
(2)AD+BD=EF,理由如下:
作CN⊥AM,
∵AD⊥BE,
∴∠EDF+∠ADC=90°,
∵∠DCN+∠ADC=90°,
∴∠EDF=∠DCN,
∵∠F=∠DNC=90°,DE=DC,
∴△DEF≌△CDN(AAS),
∴EF=DN,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠NAC=90°,
又∵∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠NAC=∠DBA,
∵AB=AC,
∴△ADB≌△CNA(AAS).
∴BD=AN.
∴AD+AN=DN=EF,
∴AD+BD=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點A,與軸交點C,拋物線過A,C兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點E,連接BE,與直線AC相交于點F,當時,求sin∠EBA的值.
(3)點N是拋物線對稱軸上一點,在(2)的條件下,若點E位于對稱軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點M,使以M,N,E,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學生的身高情況,隨機對該校男生、女生的身高進行抽樣調(diào)查,已知抽取的樣本中,男生、女生的人數(shù)相同,根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成下面的統(tǒng)計圖表:
組別 | A | B | C | D | E |
身高(cm) | x<150 | 150≤x<155 | 155≤x<160 | 160≤x<165 | x≥165 |
根據(jù)圖表中信息,回答下列問題:
(1)在樣本中,男生身高的中位數(shù)落在 組(填組別序號),女生身高在B組的人數(shù)有 人;
(2)已知該校共有男生500人,女生480人,請估計身高在155≤x<165之間的學生約有多少人?
(3)從男生樣本的A、B兩組里,隨機安排2人參加一項活動,求恰好是1人在A組、1人在B組的概率.
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【題目】生物學上研究表明:不同濃度的生長素對植物的生長速度影響不同,在一定范圍內(nèi),生長素的濃度對植物的生長速度有促進作用,相反,在某些濃度范圍,生長速度會變緩慢,甚至阻礙植物生長(阻礙即植物不生長,甚至枯萎).小林同學在了解到這一信息后,決定研究生長素濃度與茶樹生長速度的關系,設生長素濃度為x克/升,生長速度為y毫米/天,當x超過4時,茶樹的生長速度y與生長素x濃度滿足關系式:.實驗數(shù)據(jù)如下表,當生長速度為0時,實驗結(jié)束.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 9 | 7 | 4 | 0 |
(1)如圖,建立平面直角坐標系xOy,描出表中各對對應值為坐標的點,畫出該函數(shù)圖象;
(2)根據(jù)上述表格,求出整個實驗過程中y與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(4)若直線y=kx+3與上述函數(shù)圖象有2個交點,則k的取值范圍是: .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,y是關于的二次函數(shù),拋物線經(jīng)過點.拋物線經(jīng)過點拋物線經(jīng)過點拋物線經(jīng)過點則下列判斷:
①四條拋物線的開口方向均向下;
②當時,四條拋物線表達式中的均隨的增大而增大;
③拋物線的頂點在拋物線頂點的上方;
④拋物線與軸交點在點的上方.
其中正確的是
A.①②④B.①③④
C.①②③D.②③④
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【題目】某校為了解九年級學生新冠疫情防控期間每天居家體育活動的時間(單位:),在網(wǎng)上隨機調(diào)查了該校九年級部分學生.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如下的統(tǒng)計圖1和圖2.請根據(jù)相關信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的初中學生人數(shù)為________,圖①中的值為________;
(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________,眾數(shù)是________,中位數(shù)是________;
(3)根據(jù)統(tǒng)計的這組每天居家體育活動時間的樣本數(shù)據(jù),估計該校500名九年級學生居家期間每天體育活動時間大于的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,點P沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動;同時,點Q沿邊AB、BC從點A開始向點C以2cm/s的速度移動.當點P移動到點A時,P、Q同時停止移動.設點P出發(fā)xs時,△PAQ的面積為ycm2,y與x的函數(shù)圖象如圖②,則線段EF所在的直線對應的函數(shù)關系式為 .
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,E為OC上動點(不與O、C重合),作AF⊥BE,垂足為G,分別交BC、OB于F、H,連接OG、CG.
(1)求證:AH=BE;
(2)∠AGO的度數(shù)是否為定值?說明理由;
(3)若∠OGC=90°,BG=,求△OGC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是直徑,以為邊作等腰,且,與邊相交于點,過點作于點,并交的延長線于點.
(1)求證:是的切線.
(2)若,°,求由線段、及所圍成的圖形(陰影部分)面積.
(3)若,,求的長.
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