Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點A（6，0）和點B（3，）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿x軸翻折得拋物線，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點M，使與相似？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

(1) ；（2）；（3），，．

試題分析：（1）把A、B兩點坐標代入y₁=ax²+bx,求得a、b的值，從而確定y₁的解析式；
（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過點O（0，0），A（6，0），還過點B關于x軸的對稱點．從而可求y₂的解析式；
（3）過點B作BC⊥x軸于點C，易證是頂角為120º的等腰三角形．分兩種情況討論：①當點M在x軸下方時，就是，此時點M的坐標為．②當點M在x軸上方時，此時點M的坐標為（9，）、．
試題解析：（1）依題意，得  解得
∴拋物線的解析式為
（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過點O（0，0），A（6，0），還過點B關于x軸的對稱點．
設拋物線的解析式為，
∴   解得
∴拋物線的解析式為．
（3）過點B作BC⊥x軸于點C，

則有．
∴，．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3.
∴，．
∴OB=AB．
即是頂角為120º的等腰三角形．
分兩種情況：
①當點M在x軸下方時，就是，此時點M的坐標為．
②當點M在x軸上方時，假設，則有AM=OA=6，．
過點M作MD⊥x軸于點D，則．
∴，． ∴OD=9.
而（9，）滿足關系式，
即點M在拋物線上．
根據對稱性可知，點也滿足條件．
綜上所述，點M的坐標為，，．
考點:二次函數綜合題．