Question

25、已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論：PA²+PC²=PB²+PD²，請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時(shí)，PA²、PB²、PC²和PD²又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論．
答：對(duì)圖（2）的探究結(jié)論為

PA²+PC²=PB²+PD²

；
對(duì)圖（3）的探究結(jié)論為

PA²+PC²=PB²+PD²

；
證明：如圖（2）

Answer 1

分析：結(jié)論均是PA²+PC²=PB²+PD²，其實(shí)要求證的是矩形性質(zhì)中的矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等．
根據(jù)矩形和直角三角形的性質(zhì)，（2）如果過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA²，PC²，PB²，PD²，然后我們可得出PA²+PC²與PB²+PD²，我們不難得出四邊形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我們將等式右邊的值進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）如圖（3）方法同（2），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，易證．

解答：解：結(jié)論均是PA²+PC²=PB²+PD²．
（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA²=PM²+MA²，在Rt△BNP中，PB²=PN²+BN²，
在Rt△DMP中，PD²=DM²+PM²，在Rt△CNP中，PC²=PN²+NC²，
∴PA²+PC²=PM²+MA²+PN²+NC²，
PB²+PD²=PM²+DM²+BN²+PN²，
∵M(jìn)N⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四邊形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM²+MA²+PN²+NC²=PM²+DM²+BN²+PN²
即PA²+PC²=PB²+PD²．

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA²=AO²+PO²，在Rt△PQB中，PB²=PQ²+QB²，
在Rt△POD中，PD²=DO²+PO²，在Rt△CQP中，PC²=PQ²+QC²，
∴PA²+PC²=PO²+OA²+PQ²+QC²，
PB²+PD²=PQ²+QB²+DO²+PO²，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四邊形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用矩形和直角三角形的性質(zhì)，考查了矩形的性質(zhì)中矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等的證明方法．