【題目】已知:點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合),分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線,垂足分別為點(diǎn)E、F,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1,易證OE=OF(不需證明)
(2)直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠OFE=30°時(shí),如圖2、圖3的位置,猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想,并選擇一種情況給予證明.
【答案】
(1)
解:∵AE⊥PB,CF⊥BP,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
(2)
解:圖2中的結(jié)論為:CF=OE+AE.
圖3中的結(jié)論為:CF=OE﹣AE.
選圖2中的結(jié)論證明如下:
延長EO交CF于點(diǎn)G,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE∥CF,
∴∠EAO=∠GCO,
在△EOA和△GOC中,
,
∴△EOA≌△GOC,
∴EO=GO,AE=CG,
在RT△EFG中,∵EO=OG,
∴OE=OF=GO,
∵∠OFE=30°,
∴∠OFG=90°﹣30°=60°,
∴△OFG是等邊三角形,
∴OF=GF,
∵OE=OF,
∴OE=FG,
∵CF=FG+CG,
∴CF=OE+AE.
選圖3的結(jié)論證明如下:
延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE∥CF,
∴∠AEO=∠G,
在△AOE和△COG中,
,
∴△AOE≌△COG,
∴OE=OG,AE=CG,
在RT△EFG中,∵OE=OG,
∴OE=OF=OG,
∵∠OFE=30°,
∴∠OFG=90°﹣30°=60°,
∴△OFG是等邊三角形,
∴OF=FG,
∵OE=OF,
∴OE=FG,
∵CF=FG﹣CG,
∴CF=OE﹣AE.
【解析】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考?碱}型.(1)由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論.(2)圖2中的結(jié)論為:CF=OE+AE,延長EO交CF于點(diǎn)G,只要證明△EOA≌△GOC,△OFG是等邊三角形,即可解決問題.
圖3中的結(jié)論為:CF=OE﹣AE,延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G,證明方法類似.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用紙復(fù)印文件,在甲復(fù)印店不管一次復(fù)印多少頁,每頁收費(fèi)0.1元.在乙復(fù)印店復(fù)印同樣的文件,一次復(fù)印頁數(shù)不超過20時(shí),每頁收費(fèi)0.12元;一次復(fù)印頁數(shù)超過20時(shí),超過部分每頁收費(fèi)0.09元.
設(shè)在同一家復(fù)印店一次復(fù)印文件的頁數(shù)為(為非負(fù)整數(shù)).
(1)根據(jù)題意,填寫下表:
一次復(fù)印頁數(shù)(頁) | 5 | 10 | 20 | 30 | … |
甲復(fù)印店收費(fèi)(元) | 2 | … | |||
乙復(fù)印店收費(fèi)(元) | … |
(2)設(shè)在甲復(fù)印店復(fù)印收費(fèi)元,在乙復(fù)印店復(fù)印收費(fèi)元,分別寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)時(shí),顧客在哪家復(fù)印店復(fù)印花費(fèi)少?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x+2與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B.直線l⊥x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是直線l上一點(diǎn)且位于x軸上方.已知CO=CD=4.
(1)求經(jīng)過A,D兩點(diǎn)的直線的函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在直線l上是否存在點(diǎn)P使得△BDP為等腰三角形,若存在,直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,連接對(duì)角線AC、BD,將△ABC沿BC方向平移,使點(diǎn)B移到點(diǎn)C,得到△DCE.
(1)求證:△ACD≌△EDC;
(2)請?zhí)骄?/span>△BDE的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況,從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行八百米跑體能測試,測試結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),請根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:
(1)求本次測試共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)求本次測試結(jié)果為B等級(jí)的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)八年級(jí)共有900名學(xué)生,請你估計(jì)八年級(jí)學(xué)生中體能測試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在第四象限,點(diǎn)B在x軸的正半軸上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的長分別是一元二次方程x2﹣11x+30=0的兩個(gè)根(OB>OC).
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,B重合),過點(diǎn)P的直線l與y軸平行,直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q,交邊OC或邊BC于點(diǎn)R.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段QR的長度為m.已知t=4時(shí),直線l恰好過點(diǎn)C.當(dāng)0<t<3時(shí),求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)m=3.5時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在ABCD中,AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F,CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E.
圖1 圖2
(1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)如圖2,若BE⊥EC,求證:四邊形ABFE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)飯店所有員工的月收入情況如下:
你認(rèn)為用來描述該飯店員工的月收入水平不太恰當(dāng)?shù)氖?/span>( )
A. 所有員工月收入的平均數(shù)
B. 所有員工月收入的中位數(shù)
C. 所有員工月收入的眾數(shù)
D. 所有員工月收入的中位數(shù)或眾數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來,則其對(duì)應(yīng)的圖形為
A. 長方形 B. 線段 C. 射線 D. 直線
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